Leonhard EULER

53
3. EULEROVY MATEMATICKÉ PRÁCE
kde θ je úhel zvolené normálové roviny s normálovou rovinou příslušnou maximální
křivosti.
Obr. 3.16 – Křivka na válcové ploše.
známo, její poloměr křivosti v tomto bodě je
a 2
( ) cosθ
R θ =
V diferenciální geometrii (např.
[91,92]) se Eulerova věta dokazuje na
základě 1. a 2. kvadratické formy plochy.
Zde se omezíme jen na vysvětlení.
Obr. 3.16 ukazuje pro jednoduchost
křivku na válcové ploše. Poloměr
kruhové podstavy je a. Na ploše je zvolen
bod A a jím je určena normála n a
normálová rovina π, která protíná
válcovou plochu v kružnici o poloměru a.
Ta je zároveň křivkou na válcové ploše s
maximální křivostí (1/a). Tečnou a
normálou v bodě A je určena rovina π θ ,
která svírá s rovinou π úhel θ. Rovina π θ
protíná válcovou plochu v elipse s
poloosami a/cos θ a a. Tato elipsa
aproximuje křivku v okolí bodu A a jak
a
= .
a
2
cos θ
To je zároveň poloměr křivosti oskulační kružnice křivky v bodě A. Platí tedy
κ θ =
R θ
2
1 cos θ = = κ max cos 2 θ.
a
U válcové plochy je minimální křivost (křivost povrchových přímek) κ min = 0 a tedy
Eulerova rovnice platí.
V obecném případě bychom museli dokázat, že směry maximální a minimální
křivosti v bodě jsou ortogonální a pak použít křivosti oskulačních kružnic.
V Eulerově době byla diferenciální geometrie spojena s vyšetřováním hladkých
ploch ve 3D typu z = f(x, y), kde f má derivace dostatečně vysokého řádu. Obecná
geometrická témata se teprve začínala formovat a až po několika dalších desetiletích
mohly vzniknout autonomní discipliny geometrie s vlastními metodami a aparátem.
3.5. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
V diferenciální geometrii jsou vztahy mezi veličinami vyjádřeny diferenciálními
rovnicemi a je jasné, že mnoho diferenciálních rovnic má geometrický nebo fyzikální
původ. Téma diferenciálních rovnic omezíme jen na některé Eulerovy příspěvky.
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER