Leonhard EULER

71
4. EULEROVY STOPY VE FYZICE
x =
n
∑ m x
k=
1
n
∑ m
k=
1
k
Pro těleso V dostaneme přechodem od sumace k integraci stejnými úvahami
souřadnice hmotného středu x T
x T,i =
∫
V
∫
k
x i ( x)
ρ(
x)dV
( x)
,
ρ(
x)dV
( x)
přičemž V značí objemovou míru [14], dV(x) = dx 1 dx 2 dx 3 .
Podobně se počítá kinetická energie tělesa V
kde v 2 (x(t)) je čtverec rychlosti bodu x(t),
V
E kin (t) = ∫
V 21 v 2 (x(t)) ρ(x(t)) dV(x(t)) ,
v 2 (x(t)) =
2
⎛ dx1
( t)
⎞
⎜ ⎟
⎝ dt
⎠
+
k
.
2
⎛ dx2
( t)
⎞
⎜ ⎟
⎝ dt
⎠
2
⎛ dx3(
t)
⎞
+ ⎜ ⎟ .
⎝ dt
⎠
Königova věta [27] říká: kinetická energie soustavy hmotných bodů (tuhého tělesa)
je rovna součtu kinetické energie celé hmoty soustředěné do hmotného středu a
kinetické energie pohybu hmotných bodů vzhledem k hmotnému středu.
Např. kyvadlo osciluje kolem pevné osy závěsu, kola bicyklu rotují kolem svých os
a jejich střed se současně pohybuje přibližně rovnoběžně s povrchem silnice, Země
rotuje kolem své osy a zároveň kolem Slunce po přibližně kruhové dráze.
Rotační pohyb s pevnou osou rotace je popsán vzdáleností bodu x(t) od osy otáčení
0 a úhlem φ(t). Vektor r(t) = x(t) – 0 se nazývá polohový vektor. Úhlová rychlost je
derivace orientovaného úhlu φ podle času, značí se ω(t) =
d φ(t). Vektor úhlové
dt
rychlosti w leží na ose rotace a směřuje při pohybu proti směru hodinových ručiček
dopředu z roviny rotace (jako vektorový součin dvou tečných vektorů k dráze bodu
t(t 1 ), t(t 2 ) pro t 1 < t 2 ). Rychlost bodu je
Moment hybnosti bodu je
v(t) =
d x(t) = w × r(t).
dt
r(t) × ρ(r(t)) dV(r(t)) v(t) = ρ(r(t)) r(t) × v(t) dV(r(t)) = ρ(r(t)) r(t) × w × r(t) dV(r(t))
a moment hybnosti tělesa
B = ∫
V
ρ(r(t)) [r(t) × w × r(t)] dV(r(t)) .
Vektorový součin v hranaté závorce upravíme jeho vyjádřením determinantem
r(t) × (w × r(t)) = r(t) ×
i
i
i
1
2
3
ω
ω
ω
1
2
3
r
r
r
1
2
3
⎛ r1
⎞ ⎛ω2r3
− ω3r2
⎞
=
⎜
r
⎟
⎜ 2 ⎟
×
⎜
⎟
⎜
ω3r1
− ω1r3
⎟
⎝ r3
⎠ ⎝ ω1r2
− ω2r1
⎠
F. KOUTNÝ: Leonhard EULER