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2 Theoretische Grundlagen 19
vermeiden, kann die Modellierung näherungsweise auch durch zweidimensionale
Plattenelemente geschehen. Dies wird beispielsweise von [SCHULTE und FRITZEN 2008] bei
der Formulierung der Spektralelemente ausgenutzt. Im weiteren Verlauf der Arbeit wird die
Spektralelementemethode an mehreren Stellen für die Simulation der Wellenausbreitung
verwendet. Auf eine theoretische Beschreibung dieser Methode soll aber an dieser Stelle
verzichtet werden. Stattdessen erfolgt der Verweis auf die Dissertation von [SCHULTE 2010],
in welcher die Methodik detailliert erläutert wird.
2.2 Wellen in anisotropen elastischen Kontinua
Im Unterschied zu isotropen Medien können für allgemeine anisotrope Materialien keine
vereinfachenden Annahmen über die Gestalt der konstitutiven Matrix Cijkl gemacht werden.
Sie besteht nach [ALTENBACH et al. 1996] aus insgesamt 21 unabhängigen
Materialkennwerten und besitzt in Matrixnotation die Form
C
ij
⎡C11 C12 C13 C14 C15 C16
⎤
⎢
C C C C C
⎥
⎢ 22 23 24 25 26 ⎥
⎢ C33 C34 C35 C36
⎥
= ⎢ ⎥.
(2.34)
⎢ C44 C45 C46
⎥
⎢ S Y M C55 C ⎥
56
⎢ ⎥
⎢ C ⎥
⎣ 66 ⎦
Anisotrope Spezialfälle sind z.B. monotropes Materialverhalten mit 13 unterschiedlichen
Materialkennwerten. Weitere Spezialfälle sind orthotropes und transversal-isotropes
Materialverhalten. Der erste Fall besitzt neun und der zweite Fall fünf unabhängige
Elastizitätskonstanten.
Im allgemeinen, anisotropen Fall muss der Dehnungstensor aus (2.7) direkt in die Spannungs-
Dehnungsgleichung (2.2) eingesetzt werden. Die partielle Ableitung der resultierenden
Gleichung nach dem Ort und anschließendes Einsetzen in (2.1) ergibt
2 2
1 ⎛ ∂ uk ∂ u ⎞
l
Cijkl ⎜ + ⎟=
ρ u��
i . (2.35)
2 ⎜∂xj∂xl ∂xj∂x ⎟
⎝ k ⎠
Durch die Symmetrie der konstitutiven Matrix aus (2.3) dürfen k und l vertauscht werden.
Dies führt im nächsten Schritt zu
2
∂ ul
ijkl = ρ i
∂xj∂xk C u��
. (2.36)