Dokument 1.pdf - Universität Siegen
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30 2 Theoretische Grundlagen<br />
In dieser Gleichung stellt σa 0 eine Einzelkraft dar, welche jeweils am Rand des PZTs<br />
angreift. Weiterhin bezeichnet δ ( x ) die Dirac-Funktion.<br />
1<br />
Abbildung 2.13: Modell der Schubspannungsübertragung vom PZT<br />
auf die Struktur, nach [GIURGIUTIU 2005].<br />
Die weitere Berechnung findet nun im Wellenzahlraum statt. Hierzu wird die räumliche<br />
Fouriertransformation angewendet. Analog zur Fouriertransformation vom Zeit- in den<br />
Frequenzbereich lässt sich Φ(x1) bzw. Ψ(x1) mit<br />
∞<br />
� −ikx<br />
Φ( k) = Φ(<br />
x ) e 1<br />
∫ dx<br />
(2.50)<br />
−∞<br />
1 1<br />
in den Wellenzahlraum k überführen. Die inverse räumliche Fouriertransformation lautet<br />
∞<br />
1<br />
( ) � ikx<br />
Φ x ( ) 1<br />
1 = Φ k e dk.<br />
2π<br />
∫ (2.51)<br />
−∞<br />
Die Fouriertransformierte (FT) einer Differentialgleichung zweiter Ordnung lässt sich<br />
ausdrücken mit<br />
⎛ 2<br />
Φ<br />
⎞<br />
2<br />
FT ⎜<br />
∂<br />
⎟= ( −ik)<br />
� Φ<br />
⎜ 2<br />
x ⎟<br />
⎝<br />
∂ 1 ⎠<br />
und<br />
⎛ 2<br />
Ψ<br />
⎞<br />
2<br />
FT ⎜<br />
∂<br />
⎟= ( −ik)<br />
� Ψ<br />
2<br />
. (2.52)<br />
⎜ ∂x<br />
⎟<br />
⎝ 1 ⎠<br />
Wendet man nun die räumliche Fouriertransformation auf die Wellengleichungen (2.12) bzw.<br />
(2.13) an, so ergibt sich nach Verrechnung der entsprechenden Terme:<br />
2 �<br />
2<br />
p � Φ<br />
Φ 0<br />
x<br />
∂<br />
+ =<br />
∂<br />
3<br />
bzw.<br />
�<br />
2 �<br />
2 Ψ<br />
q Ψ 0.<br />
x<br />
∂<br />
+ =<br />
∂<br />
3<br />
(2.53)
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