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58 3 Entwicklung eines autonomen Überwachungskonzepts
Umgebungs- und Betriebsbedingungen (im Englischen als „environmental and operational
conditions (EOC)“ bezeichnet):
d1, o = TOF1 ⋅ cGr ( fd, θ1+ τ,
EOC).
(3.14)
Analog dazu lassen sich die Distanzen d2,o, d1,u und d2,u ausdrücken mit
d2, o = TOF2 ⋅cGr ( fd, π − θ2+ τ,
EOC);
(3.15)
d , = TOF ⋅c( fd, − θ + τ,
EOC);
(3.16)
1 u 1 Gr 1
d2, u = TOF2 ⋅ cGr ( fd, π + θ2+ τ,
EOC).
(3.17)
In diesen Gleichungen repräsentieren TOF1 und TOF2 die anteilige Wellenlaufzeit in θ1- bzw.
θ2-Richtung. Die Indizes o bzw. u stehen für das obere bzw. das untere Dreieck aus
Abbildung 3.7. Auf Basis dieser Größen und durch die Anwendung des Sinussatzes ergeben
sich folgende geometrischen Beziehungen:
sin( θ2
)
sin( θ3
)
= ;
TOF ⋅ c ( fd, θ + τ,
EOC) L
1 Gr 1
sin( θ1)
sin( θ3
)
= .
TOF ⋅c( fd, π − θ + τ,
EOC) L
2 Gr 2
(3.18)
(3.19)
Da die Winkelsumme in einem Dreieck gerade gleich π ist, lässt sich die Variable θ3
ausdrücken durch
θ = π −θ − θ .
(3.20)
3 1 2
Das bereits in Abschnitt 2.5 eingeführte Differenzsignal enthält die Summenlaufzeit vom
Aktor über den Schaden zum Sensor:
TOF = TOF1+ TOF2.
(3.21)
Gleichung (3.20) lässt sich in (3.18) und (3.19) einsetzen. Eine Umstellung dieser
Gleichungen und anschließendes Einsetzen in (3.21) ergibt die Lösung für das obere Dreieck:
Lsin( θ2) Lsin(
θ1)
TOF ⋅sin( π −θ1− θ2)
= +
.
c ( fd, θ + τ, EOC) c ( fd, π − θ + τ,
EOC)
Gr 1 Gr 2
(3.22)
Diese transzendente Gleichung enthält zwei Variablen θ1 and θ2 und kann nicht analytisch
gelöst werden. Es lässt sich aus (3.22) ableiten, dass sich die Welle anteilig in θ1-Richtung mit