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4 Signalverarbeitungsverfahren zur Verbesserung der Schadenslokalisation 75
4.1.3 Signalrekonstruktionsalgorithmus
Der MP-Algorithmus geht auf [MALLAT und ZHANG 1993] zurück und konnte bereits
erfolgreich von [RAGHAVAN und CESNIK 2007] und [LU und MICHAELS 2008] im Rahmen der
wellenbasierten Strukturüberwachung eingesetzt werden. Er zerlegt das Ultraschallsignal in
eine Linearkombination analytischer Funktionen, welche in der Terminologie des
MP-Algorithmus als Atome bezeichnet werden. Diese sind in einer redundanten Datenbank,
dem so genannten Signalbuch, zusammengefasst, bei der die Signale keine orthogonalen
Eigenschaften zueinander aufweisen. Jenes Atom des Signalbuchs, welches am besten mit
dem betrachteten Signal korreliert, wird für die Rekonstruktion ausgewählt. Der Algorithmus
terminiert automatisch, sobald die Signalenergie des Residuums rn+1(t) nach n Iterationen
unter einen bestimmten Schwellwert fällt oder die maximale Anzahl an Iterationen erreicht
ist. Mathematisch kann diese Prozedur mit den folgenden fünf Schritten beschrieben werden,
wobei das Residuum r0(t) in der ersten Iteration dem Sensorsignal s(t) entspricht. Das
rekonstruierte Signal s’(t) ist vor der ersten Iteration Null.
Schritt 1: Erzeuge ein redundantes Signalbuch D, das entweder aus normierten Gaboroder
Chirpletatomen besteht, siehe Gleichungen (4.11) bzw. (4.12).
Schritt 2: Wähle das Atom ym(t) aus der Datenbank aus, welches die größte absolute
Korrelation mit dem Residuum rn(t) in Iteration n aufweist.
, () argmax (), () .
y t = r t y t
(4.7)
mn n m
ym∈D Der Operator ⋅⋅ , bezeichnet in obiger Gleichung das Skalarprodukt, welches
analog zu [MALLAT und ZHANG 1993] definiert ist als
r (), t y () t
∞
= ∫ r () t y () t dt,
(4.8)
n m n m
−∞
wobei ym() t die konjugiert komplexe Form von ym() t darstellt.
Schritt 3: Subtrahiere nun das mit dem Skalarprodukt gewichtete Atom ym,n(t) von dem
Residuum rn(t)
rn+ 1 () t = rn() t − rn(), t ymn , () t ymn , (). t
(4.9)
Schritt 4: Füge den gleichen Signalanteil der Rekonstruktion s’n+1(t) hinzu
s'() t s'() t r (), t y () t y (). t
n+ 1 n n mn , mn ,
= + (4.10)