Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

50 rückmann, glüge und windzio
3 Die Gaußsche Normalverteilung
spiegelt also die Statistik
der zufälligen Fehler wider.
• Die Messwerte haben für den Wert ¯x die größte Häufigkeit.
• Die Messwerte streuen symmetrisch um den Wert ¯x .
• Kleine Abweichungen |x i − ¯x| sind häufiger als größere.
Es gibt zwar keinen mathematisch stringenten Beweis, aber die praktischen
Erfahrungen zeigen, dass aufgrund der Unabhängigkeit der
unterschiedlichen Ursachen für die zufälligen Fehler die Grundgesamtheit
aller Messwerte einer physikalischen Größe x durch die
Gauß- oder Normalverteilung beschrieben werden kann. Sie wird
mathematisch dargestellt durch die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
ϕ (x) = 1
√ exp −
2πs
(x − ¯x)2
2s2
Diese Funktion hat folgende Eigenschaften:
• Beim Wert ¯x hat sie ein Maximum
• Bezüglich des Wertes ¯x ist sie symmetrisch.
• Für große Werte |x − ¯x| geht sie gegen Null.
(7.8)
• Für ¯x ± s besitzt sie Wendepunkte und ist daher schmaler für kleine
s.
• Die Normierung ist
4 Die Abweichungen vi werden auch
als scheinbare Fehler bezeichnet. definiert als
ˆ∞
−∞
ϕ (x) dx = 1 . (7.9)
Diese Eigenschaften der Normalverteilung sind aber gerade die oben
genannten Charakteristika, wie sie für die zufälligen Fehler aus dem
Histogramm für die Messwerte (Abb. 7.6) abgeleitet wurden. Die
Größen ¯x und s der Stichprobe entsprechen den Größen µ und σ
der Grundgesamtheit vgl. Gl. (7.4) - Gl. (7.7). 3
Die Messwerte xi jeder physikalischen Größe sind zufallsbedingt,
sie streuen um den wahrscheinlichsten Wert ¯x. Die Abweichungen
vi der einzelnen Messwerte vom wahrscheinlichsten Wert 4 werden
v i = x i − ¯x (7.10)
Die v i sind, wie die Messwerte selbst, Zufallsgrößen, die ebenfalls
normalverteilt sind gemäß
ϕ (v) = 1
√ exp −
2πs v2
2s2
bzw. = 1
√ exp −
2πσ v2
2σ2
(7.11)
Die Funktion (Abb. 7.7, links) hat ihr Maximum bei v = 0 und
Wendepunkte bei −s und +s (bzw. σ ).