Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen
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62 rückmann, glüge <strong>und</strong> windzio<br />
• Multiplikative Funktionen: F = a · x · y · z oder F = b · x · y/z<br />
(a, b sind Konstanten). Die Absolutbeträge der relativen Messun-<br />
sicherheiten werden addiert.<br />
<br />
= ±<br />
uF<br />
F<br />
| ux<br />
¯x<br />
uy uz<br />
| + | | + |<br />
¯y ¯z |<br />
<br />
(8.6)<br />
• Multiplikative Funktionen mit Potenzen: F = c · x l · y m /z n<br />
(c ist eine Konstante). Die nach den Potenzen gewichteten Absolutbeträge<br />
der relativen Messunsicherheiten werden addiert.<br />
uF<br />
F<br />
<br />
= ±<br />
|l ux<br />
¯x<br />
uy uz<br />
| + |m | + |n<br />
¯y ¯z |<br />
<br />
(8.7)<br />
Ausgehend <strong>von</strong> Gl. (8.4) erhält man die Formeln Gl. (8.5) bis Gl. (8.7)<br />
in pythagoreischer Addition.<br />
Beispiel 1 : Größtfehlerabschätzung<br />
• Der Durchmesser d <strong>und</strong> die Höhe h wurden <strong>zur</strong> Volumenbestimmung<br />
eines Zylinders gemessen. Wie groß ist die Messunsicherheit<br />
des Volumens?<br />
d = dc ± u d = (17,0 ± 0,2) mm<br />
h = hc ± u h = (46,8 ± 0,4) mm<br />
• Volumen: Vc = π 4 d2 chc = π 4 172 · 46,8 mm 3 = 10623 mm 3<br />
• Messunsicherheit: uV = ±<br />
<br />
|2 ud dc | + | uh hc |<br />
<br />
· Vc<br />
<br />
uV = ± 2 0,2<br />
<br />
0,4<br />
+ · 10623 mm<br />
17,0 46,8<br />
3 = 341 mm 3<br />
• Endergebnis: V = Vc ± uV = (10,6 ± 0,3) cm 3 .<br />
Beispiel 2: Kombination der Standardformeln<br />
Zusammengesetzte Ausdrücke wie<br />
F =<br />
aw · bx<br />
cy + dz<br />
(w, x, y <strong>und</strong> z sind unabhängige Einzelmessgrößen) können nach<br />
Gl. (8.3) bzw. Gl. (8.4) behandelt werden, was aber zu recht komplizierten<br />
Ausdrücken führen kann. Einfacher wird die Kombination<br />
<strong>von</strong> Gl. (8.5) <strong>und</strong> Gl. (8.6), hier beispielsweise in pythagoreischer<br />
Addition:<br />
<br />
uF<br />
2<br />
¯F<br />
=<br />
<br />
uw<br />
2<br />
+<br />
¯w<br />
mit Nenner = c ¯y + d ¯z <strong>und</strong> u 2 Nenner = cuy<br />
<br />
ux<br />
2 <br />
uNenner<br />
+<br />
¯x Nenner<br />
2 + (duz) 2 .<br />
Die Anwendung <strong>von</strong> Gl. (8.4) würde auch zu diesem Ergebnis<br />
führen.<br />
2
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