Hinweise zum Praktikum und zur Auswertung von Messergebnissen

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skizziert werden, welche neben den Varianzen auch die Kovarianzen
liefert und für alle Messreihen gilt, die sich durch Linearkom-
binationen y (x) =
m
∑
k=1
a k f k (x) beliebiger Funktionen f k (x) ausglei-
chen lassen und damit auch für den einfachsten Fall der Geraden mit
m = 2, f1 (x) = 1, f2 (x) = x, a1 = b und a2 = a. Nach der Methode
der kleinsten Quadrate (analog zu Gl. (9.6)) erhält man m Normalgleichungen
zur Bestimmung der m Parameter a1, . . . am :
n
fl (x
∑ y
i)
i
i=1 s2
m n
= ∑ ak ∑
i k=1 i=1
1
fl (xi) fk (xi) Dieses Gleichungssystem lautet in Matrizenschreibweise
s 2 i
(l = 1, . . . m) .
β = aα . (9.19)
Die Elemente des Zeilenvektors a = (a1a2 . . . am) sind die gesuchten
Parameter. Die Matrix α ist die symmetrische Koeffizientenmatrix
(analog zu Gl. (9.11)) mit den Elementen
α kl = α lk =
n
1
∑
i=1 s2
fl (xi) fk (xi) i
Die Elemente des Zeilenvektors β = (β1β2 . . . βm) sind definiert durch
β l =
n
1
∑
i=1 s2
yi fl (xi) i
Die Lösung a des Problems erhält man jetzt leicht durch Multiplizieren
der Gl. (9.19) von rechts mit der inversen Matrix ε = α −1 von α,
welche definiert ist durch αε = εα = 1 , das ist die Einheitsmatrix.
Man erhält
βε = aαε bzw.
oder für die Parameter ausgeschrieben
a l =
m
∑ (βkε kl) =
k=1
.
a = βε (9.20)
m
∑ εkl k=1
n
1
∑
i=1 s2
yi fk (xi) i
in Übereinstimmung mit Gl. (9.9) und Gl. (9.10) für m = 2, f1 (x) =
1 und f2 (x) = x . Die inverse Matrix ε = α −1 ist wie α symmetrisch,
man nennt sie Fehlermatrix oder Kovarianzmatrix, weil ihre Elemente
in der Hauptdiagonalen die Varianzen und die übrigen Elemente
die Kovarianzen (siehe Abschn. 9.1) der Parameter der Ausgleichsfunktion
y (x) sind. Für den Fall des Geradenausgleiches y = ax + b
erhält man
ε =
s 2 a
s ab
sab s2 b
= 1
⎛
⎝
D
∑ 1
s 2 i
− ∑ x i
s 2 i
.
− ∑ x i
s 2 i
∑ x2 i
s 2 i
⎞
⎠