Skriptum

Beispiel 2.10. Das Modell y = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 soll an die Daten aus Beispiel 2.3
angepasst werden. D.h. f 1 (x) = 1, f 2 (x) = x und f 3 (x) = x 2 . Es ergibt sich das Gleichungssystem
⎛
⎞⎛
⎛ ⎞
6 21.5 93.73
33.1
⎝
21.5 93.73 450.4
93.73 450.4 2273
⎞
a 1
⎠⎝a 2
⎠ = ⎝
a 3
134.3
627.5
wobei z.B. C 1,3 = 1·1.2 2 +1·1.8 2 +1·3.2 2 +... = 93.73 oder C 2,2 = 1.2·1.2+1.8·1.8+
... = 93.73, und b 3 = 3.1·1.2 2 +4.5·1.8 2 ... = 627.5. Die Lösung des Gleichungssystems
ergibt
a 1 = 3.225, a 2 = 0.1159, a 3 = 0.1201.
Definition 2.11. In einem linearen Regressionsmodell muss f eine lineare Funktion
sein. Bei zweidimensionalen Stichproben heißt das: y ≈ f (x) = ax + b. f
nennt man Regressionsgerade.
Satz 2.12. Für das lineare Regressionsmodell ergibt sich
a = s x,y
s 2 x
, b = ȳ − a ¯x .
Beweis. Mit f 1 = 1, f 2 = x und a 1 = b, a 2 = a lässt sich Satz 2.9 anwenden und
man erhält ( ∑ )( ( ∑ )
n xi b yi
∑ ∑
xi x
2 = ∑
a)
xi y
i
i
Multipliziert man die erste Zeile mit 1 n
∑
xi und subtrahiert sie von der zweiten
Zeile, erhält man
b · 0 + a( ∑ x 2 i − 1 n (∑ x i ) 2 ) = ∑ x i y i − 1 ∑ ∑
xi yi
∑ n
xi y i − n ¯xȳ
a = ∑ x
2
i − n . ¯x2
1
Erweitert man oben und unten mit
n−1 , ergibt sich wie gewünscht a = s x,y
. Dividiert
man die erste Zeile des Gleichungssystems durch n, erhält man b·1+a ¯x = ȳ
sx
2
und daraus b = ȳ − a ¯x.
Beispiel 2.13. a = 3.14
1.83 2 = 0.94, b = 5.52 − 0.94 · 3.58 = 2.14.
Definition 2.14. Die Stichprobe kann in einem Streudiagramm (Scatterplot)
dargestellt werden, in das man jeden Punkt (x i , y i ) einzeichnet. In ein Streudiagramm
können auch Regressionsgeraden und -kurven eingezeichnet werden.
⎠ ,
10