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1 2 3 4 10 -2 -1 0 1 2 Abbildung 21: Dichtefunktion der Summe von 1, 2, 3, 4 und 10 unabhängigen Zufallsvariablen mit der Gleichverteilung zwischen −0.5 und 0.5. 1 2 3 4 10 -1 -0.5 0 0.5 1 Abbildung 22: Dichtefunktion der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen wie in Abbildung 21, nur durch die Wurzel der Anzahl dividiert. 44
etrachten, dann müssten die Verteilungen in der Breite gleich bleiben. In Abbildung 22 sieht man auch sehr schön, wie dadurch die Konvergenz zur Normalverteilung deutlich wird. Wir können nun den zentralen Grenzwertsatz in seiner einfachsten Form formulieren. Satz 7.1 (Zentraler Grenzwertsatz, identische standardisierte Verteilung). Es sei X 1 , X 2 ,... eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung und E(X k ) = 0 und V(X k ) = 1. Dann gilt Oder anders formuliert: 1 n∑ n k=1 lim n→∞ 1 n∑ X k ∼ N 0,1 . n k=1 X k n→∞ −−−−→ Y mit Y ∼ N 0,1 . Zum Beweis für diesen Satz benötigen wir ein paar Hilfsmittel. Da die Summe von Zufallsvariablen auf eine Faltung der Dichtefunktionen hinausläuft, bietet sich der Faltungssatz aus der Fourier-Analyse an. Dieser besagt, dass F (f ∗ g ) = F (f ) · F (g ), wobei F die Fourier-Transformation ist und f und g zwei transformierbare Funktionen sind. Das heißt, die Faltung wird durch die Transformation in eine punktweise Multiplikation verwandelt, die viel einfacher handhabbar ist. Aus diesem Grund definieren wir: Definition 7.2. Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable X bzw. von deren Verteilung ist ϕ X (ω) := E ( e iωX ) . Satz 7.3. Wenn X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen sind, dann gilt Beweis. ϕ X +Y = ϕ X · ϕ Y . ϕ X +Y (ω) = E ( e iω(X +Y )) = E ( e iωX · e iωY ) = E ( e iωX ) · E ( e iωY ) = ϕ X (ω) · ϕ Y (ω) Beachte: die vorletzte Gleichheit gilt, weil mit X und Y auch e iωX und e iωY zwei unabhängige Zufallsvariablen sind. Satz 7.4. ϕ X (0) = 1. 45
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