Skriptum

1
1
0
0 2 4
0
0 2 4
(a) Dichtefunktion
(b) Verteilungsfunktion
Abbildung 20: Verteilung von X 2 für X gleichverteilt zwischen 0 und 2.
Ω −→ R, (g (X ))(ω) := g (X (ω)). Für die Verteilungsfunktion sieht es etwas komplizierter
aus: F g (X ) (x) = P(g (X ) ≤ x).
Satz 6.61. Für streng monoton steigende Funktionen g gilt F g (X ) (x) = P(X ≤
g −1 (x)) = F X (g −1 (x)). Bei diskreten Zufallsvariablen gilt f g (X ) (k) = ∑ g (j )=k f X (j ).
Beispiel 6.62. Sei X gleichverteilt auf [0,2], also f X (x) = 1 2
auf [0,2], 0 außerhalb,
und daher F X (x) = P(X ≤ x) = x 2 auf [0,2], E(X ) = 1, V(X ) = 2 3 . Sei nun Y = X 2 . Die
Funktion g (x) = x 2 ist streng monoton auf (0,2]. Daher ist F Y (x) = F X (g −1 (x)) =
F X ( x
x) =
2 auf [0,4]. f Y (x) = dF Y (x)
dx
= 1
4 auf (0,4]. Abbildung 20 zeigt die neue
x
Dichte- und Verteilungsfunktion. E(Y ) = ∫ 4
0 x f Y (x)dx = ∫ 4
0 x 1
4 x dx = 1 6 x 3 2 ∣ 4 = 4 0 3 .
Aufgrund von Satz 6.36 lässt sich das aber auch einfacher rechnen. E(Y ) =
E(X 2 ) = ∫ 2
0 x2 1 2 dx = 1 2 · x3
∣ 2 = 23 wie oben.
0
3
2·3 = 4 3
Beispiel 6.63. Spiel: 7€ setzen, 1× würfeln, 2€ pro Auge bekommen. X = Anzahl
der Augen. E(X ) = 3.5, V(X ) = 62 −1
12 , σ X ≈ 1.71. Der Gewinn ist Y = 2X − 7. E(Y ) =
2E(X ) − 7 = 0€, V(Y ) = 2 2 V(X ) = 35 3 , σ Y = 2σ X ≈ 3.42€.
Beispiel 6.64. Es werden zwei Münzen geworfen. X sei die Anzahl der Köpfe (K),
Y die Anzahl der Zahlen (Z). E(X ) = 0 1 4 +1 1 2 +2 1 4
= 1, E(Y ) = ... = 1, V(X ) = V(Y ) =
1
2
. (X + Y )(KK) = X (KK) + Y (KK) = 2 + 0 = 2,(X + Y )(KZ) = 1 + 1 = 2,(X + Y )(ZK) =
2,(X + Y )(ZZ) = 2. E(X + Y ) = E(X ) + E(Y ) = 1 + 1 = 2 (stimmt).
Beispiel 6.65. Wir betrachten nun das Produkt von Zufallsvariablen. X Y : Ω −→
R, (X Y )(ω) := X (ω)Y (ω). Es ist (X Y )(KK) = X (KK)Y (KK) = 2 · 0 = 0,(X Y )(KZ) =
(X Y )(ZK) = 1 · 1 = 1,(X Y )(ZZ) = 0.
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