Skriptum

etrachten, dann müssten die Verteilungen in der Breite gleich bleiben. In Abbildung
22 sieht man auch sehr schön, wie dadurch die Konvergenz zur Normalverteilung
deutlich wird.
Wir können nun den zentralen Grenzwertsatz in seiner einfachsten Form formulieren.
Satz 7.1 (Zentraler Grenzwertsatz, identische standardisierte Verteilung). Es sei
X 1 , X 2 ,... eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit gleicher Verteilung
und E(X k ) = 0 und V(X k ) = 1. Dann gilt
Oder anders formuliert:
1 n∑
n
k=1
lim
n→∞
1 n∑
X k ∼ N 0,1 .
n
k=1
X k
n→∞
−−−−→ Y mit Y ∼ N 0,1 .
Zum Beweis für diesen Satz benötigen wir ein paar Hilfsmittel. Da die Summe
von Zufallsvariablen auf eine Faltung der Dichtefunktionen hinausläuft, bietet
sich der Faltungssatz aus der Fourier-Analyse an. Dieser besagt, dass F (f ∗ g ) =
F (f ) · F (g ), wobei F die Fourier-Transformation ist und f und g zwei transformierbare
Funktionen sind. Das heißt, die Faltung wird durch die Transformation
in eine punktweise Multiplikation verwandelt, die viel einfacher handhabbar ist.
Aus diesem Grund definieren wir:
Definition 7.2. Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable X bzw. von
deren Verteilung ist
ϕ X (ω) := E ( e iωX ) .
Satz 7.3. Wenn X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen sind, dann gilt
Beweis.
ϕ X +Y = ϕ X · ϕ Y .
ϕ X +Y (ω) = E ( e iω(X +Y )) = E ( e iωX · e iωY ) = E ( e iωX ) · E ( e iωY ) = ϕ X (ω) · ϕ Y (ω)
Beachte: die vorletzte Gleichheit gilt, weil mit X und Y auch e iωX und e iωY zwei
unabhängige Zufallsvariablen sind.
Satz 7.4.
ϕ X (0) = 1.
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