Skriptum

0.9 1 Binomial
0.8
0.7
Normal
0.6
Stet.-korr.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 5 10 15 20
Abbildung 16: Approximation der Binomialverteilung B 20,25% durch die Normalverteilung
(Normalapproximation).
Definition 6.44. Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit
µ = 0 und σ = 1, also N 0,1 . Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
wird als Φ geschrieben.
Satz 6.45. Wenn X ∼ N µ,σ 2, dann ist X −µ
σ
∼ N 0,1. Es gilt daher
∫ b
P(a ≤ X ≤ b) = f X (x)dx = F X (b) − F X (a) = Φ
a
( X −µ
Beweis. P(X ≤ x) = P
σ
)
≤ x−µ
σ
= Φ ( x−µ )
σ .
Aus Symmetriegründen ist Φ(−x) = 1 − Φ(x).
( b − µ
σ
)
− Φ
( a − µ
Satz 6.46. X ∼ N µ,σ
2 ⇒ P(|X −µ| ≤ σ) ≈ 68.2%, P(|X −µ| ≤ 2σ) ≈ 95.4%, P(|X −µ| ≤
3σ) ≈ 99.7%.
Beispiel 6.47. X sei die Füllmenge in einer Milchpackung in l. X ∼ N 1,0.05 2. P(X ≤
0.98) = Φ ( )
0.98−1
0.05 = Φ(−0.4) ≈ 34%.
Die Umkehrfunktion Φ −1 ist wichtig, wenn Mindestwahrscheinlichkeiten gefragt
sind.
Satz 6.48. P(X ≤ x) ≥ p ⇔ Φ ( x−µ ) x−µ
σ ≥ p ⇔
σ ≥ Φ−1 (p) ⇔ x ≥ σΦ −1 (p) + µ.
Beispiel 6.49. Wie viel Milch ist mit Wahrscheinlichkeit p ≥ 99% in der Packung?
P(X > x) ≥ p ⇔ 1 − Φ ( x−µ ) x−µ
σ ≥ p ⇔
σ ≤ Φ−1 (1 − p) ⇔ x ≤ σΦ −1 (1 − p) + µ =
0.05Φ −1 (0.01) + 1 ≈ 0.88l.
σ
)
.
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