Skriptum

Satz 4.19. Werden zufällige Kombinationen mit Wiederholung als aufeinander
folgende zufällige Auswahl von Elementen implementiert, z.B. als Ziehung aus
der Urne mit Zurücklegen, dann ist die Laplace-Annahme im Allgemeinen nicht
zu treffen, d.h. die Kombinationen sind nicht gleich wahrscheinlich.
Aus diesem Grund haben Kombinationen mit Wiederholung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
eigentlich keine allzu große Bedeutung.
Beweis. Bei den Variationen mit Wiederholung gilt die Laplace-Annahme. Die
Kombinationen mit Wiederholung sind nun eine Abstraktion der Variationen, also
eine Zusammenfassung von Variationen mit gleicher Elementauswahl aber
unterschiedlicher Reihenfolge. Jetzt gibt es zum Beispiel nur eine Variation für
(1,1,1,1,1), aber fünf Variationen für (1,1,1,1,2). Letztere Kombination ist also
fünf mal so wahrscheinlich wie erstere. Bei anderen Kombinationen ist das Missverhältnis
meist noch größer.
5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit wird ein zweites Ereignis B (die Bedingung)
als neue Grundmenge betrachtet. Man kann das auch als zweistufiges Experiment
betrachten: Zuerst tritt Ereignis B ein, dann wird ein Ereignis A unter
dieser Voraussetzung untersucht. Jetzt hat A womöglich eine andere Wahrscheinlichkeit,
da A von B vielleicht nicht unabhängig ist. Wir beschränken also
den Ergebnisraum auf B und die Ereignisse auf jene, die in B liegen. Das Wahrscheinlichkeitsmaß
P muss dann so normiert werden, dass P(B) eins wird.
Satz 5.1. Sei (Ω,Σ,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und B ∈ Σ. Sei Σ B := {e ∈
Σ | e ⊆ B} und P B := P/P(B). Dann ist (B,Σ B ,P B )) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Beweis. (B,Σ B ) ist ein Ereignisraum, denn (1) B ∈ Σ B , weil B ∈ Σ und B ⊆ B, (2)
für e ∈ Σ B ist B \ e ∈ Σ B , weil B \ e = (Ω \ e) ∩ B und Ω \ e ∈ Σ und daher auch
(Ω\e)∩B ∈ Σ und (Ω\e)∩B ⊆ B, und (3,4) für e i ∈ Σ B gilt ⋃ e i ∈ Σ B und ⋂ e i ∈ Σ B ,
weil diese ∈ Σ sind aber auch ⊆ B.
P B ist ein zugehöriges Wahrscheinlichkeitsmaß, weil (1) P(e) ≥ 0 ⇒ P B (e) =
P(e)/P(B) ≥ 0, (2) P B (B) = P(B)/P(B) = 1, und (3) für e i ∈ Σ B ∧ e i ≠ e j ist P B ( ⋃ e i )
= P( ⋃ e i )/P(B) = ∑ P(e i )/P(B) = ∑ P B (e i ).
Definition 5.2. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) („Wahrscheinlichkeit
von A unter der Bedingung B“) ist
P(A ∩ B)
P(A|B) := P B (A ∩ B) = .
P(B)
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