Skriptum

Parameter ergeben sich aus den Sätzen über die Erwartungswerte und Varianzen
der Summe von Zufallsvariablen.
e −cx2 ∗e −dx2 =
∫ ∞
−∞
e −cx2 −d(a−x) 2 dx =
∫ ∞
−∞
e −(c+d)( x− da )
)
2
−a
(d−
c+d dx·e 2 d2
c+d
= f e −g a2 ,
wobei das Integral ein gaußsches Integral ist und daher eine Konstante f ergibt,
die nicht von a abhängt.
Beispiel 6.75. Ein Ziegel habe die Höhe X . X sei normalverteilt mit µ X = 20cm,
σ X = 7mm. Es werden 20 Ziegel aufeinander gestapelt. Diese haben die Höhen
X 1 ,..., X 20 , die unabhängig sind und alle die selbe Verteilung haben wie X . Die
Gesamthöhe ist Y = X 1 + ... + X 20 . E(Y ) = E(X 1 ) + ... + E(X 20 ) = 20 E(X ) = 4m
(klarerweise). V(Y ) = V(X 1 ) + ... + V(X 20 ) = 20 V(X ), σ Y = 20 V(X ) = 20σ X ≈
3.13cm (und nicht 20·7mm = 14cm!). Y ist also normalverteilt mit µ Y = 4m,σ Y =
3.13cm.
7 Zentraler Grenzwertsatz
In der Realität misst man meistens Merkmale, die sich aus der Summe von unabhängigen
Einzelmerkmalen ergeben. So sind z.B. Abweichungen oder Messfehler
bei Messungen meistens die Summe von vielen verschiedenen Ursachen. Die
Abweichungen sind dann meistens normalverteilt, wie sich herausstellt. Dies hat
einen theoretischen Grund, und zwar dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen
mit ihrer Anzahl gegen die Normalverteilung konvergiert. Das ist
die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes.
In Abbildung 21 ist die Verteilung (Dichtefunktion) der Summen von n unabhängigen
Zufallsvariablen dargestellt, für n ∈ {1,2,3,4,10}. Die n Zufallsvariablen
sind dabei alle gleichverteilt zwischen −0.5 und 0.5. Für n = 2 hat man also zwei
Zufallsvariablen X und Y , die unabhängig sind, aber die gleiche Verteilung besitzen.
Durch Faltung bekommt man die Verteilung der Summe von X und Y . Aus
den Rechtecksfunktionen der Gleichverteilung wird in Abbildung 21 also eine
Dreiecksfunktion. Wenn man diese wiederum mit einer Rechtecksfunktion faltet
wird das Ergebnis für n = 3 schon rund. Für höhere n nähert sich das Ergebnis
immer mehr der Normalverteilung an.
Die Verteilung wird dabei immer breiter. Das ist kein Wunder, wissen wir
doch, dass V(X + Y ) = V(X ) + V(Y ) ist. Die Standardabweichung wächst also mit
n, d.h. σ(X1 +...+X n ) = nσ(X 1 ). Wir könnten also stattdessen 1
n
(X 1 +...+X n )
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