Skriptum

Sind die Personen aus den beiden Ländern im Mittel gleich groß? (α = 10%.)
Die Werte hängen übrigens nicht paarweise zusammen, dafür gäbe es wieder
einen anderen Test. Es ist ¯x A = 167.3, ¯x B = 178.4, s A = 13.4, s B = 11.5.
√
10
|167.3 − 178.4|
13.4 2 = 1.988 ≰ 1.734,
+ 11.52 wobei 1.734 aus der Tabelle der t-Verteilung kommt mit 2 · 10 − 2 = 18 Freiheitsgraden.
Wenn die Varianzen der zwei Stichproben ungleich ist, dann verwendet man
folgende Variante.
Satz 10.11. Beim Vergleich zweier Stichproben x 1 = {x 1,1 , x 1,2 ,..., x 1,n1 } und x 2
mit den Verteilungen N µ1 ,σ 2 1 und N µ 2 ,σ 2 2 gilt für die Hypothese H 0 : µ 1 = µ 2 : Wenn
| ¯x 1 − ¯x 2 |
√
s 2 1
n 1
+ s2 1
n 1
≤ F −1 ( 1 − α 2
dann wird H 0 beibehalten, ansonsten verworfen, wobei F die Verteilungsfunktion
von t m ist, mit
m ≈
)
,
(s 2 1 /n 1 + s 2 2 /n 2) 2
(s 2 1 /n 1) 2 /(n 1 − 1) + (s 2 2 /n 2) 2 /(n 2 − 1) .
Werden mehr als zwei Stichproben verglichen, dann könnte man die Stichproben
paarweise mit obigen t-Tests vergleichen. Dabei würde aber die Wahrscheinlichkeit
für einen Fehler 1. Art steigen. Man verwendet daher stattdessen
eine Verallgemeinerung des doppelten t-Tests, nämlich einen F -Test. Da dieser
Test die Stichproben-Varianzen mit der Varianz der Stichproben-Mittelwerte vergleicht,
ist das Verfahren als ANOVA (ANalysis Of VAriances) bekannt.
Satz 10.12 (ANOVA). Es seien x i = {x i ,1 ,..., x i ,ni }, i = 1,...,m, m Stichproben mit
den Verteilungen N µi ,σ. Die Hypothese ist H 0 : µ 1 = µ 2 = ... = µ m . Wir definieren
nun den Mittelwert der Varianzen s 2 und die Varianz der Mittelwerte s2¯x als
s 2 := 1
n − m
∑
(n i − 1)s 2 i
i
, s2¯x :=
1
m − 1
(
∑
i
n i ¯x 2 i − n ¯x2 )
wobei n = n 1 + ... + n m die Größe und ¯x der Mittelwert der Gesamtstichprobe
ist. Gilt H 0 nicht, dann müsste die Varianz der Mittelwerte im Vergleich zu groß
,
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