Skriptum

Beispiel 10.6. Wir nehmen an, die Füllmengen aus Beispiel 10.2 seien normalverteilt.
Eine Stichprobe von 5 Flaschen ergibt
x = {1.0178,0.9979,1.0217,1.0177,1.0181}, ¯x = 1.01464, s = 0.0095.
Zu einem Signifikanzniveau α = 5% soll geprüft werden, ob wirklich µ = 1 gilt.
5
|1.01464 − 1|
0.0095 = 3.444 ≰ F −1 (0.975) = 2.776.
Daher ist die Abfüllanlage eher falsch eingestellt.
Satz 10.7 (Einseitiger t-Test). Für die einseitige Fragestellung mit der Hypothese
H 0 : µ ≥ µ 0 gilt folgender Annahmebereich: Wenn
n
(µ 0 − ¯x) ≤ F −1 (1 − α),
s
dann wird die Hypothese µ ≥ µ 0 beibehalten, ansonsten verworfen.
Beweis. Wir konstruieren den Annahmebereich ¯x ≥ µ 0 − ∆.
P( ¯x ≥ µ 0 − ∆ | µ ≥ µ 0 ) ≥ 1 − α
⇐ P( ¯x ≥ µ 0 − ∆ | µ = µ 0 ) = 1 − α
( ) n n
⇔ P (µ − ¯x) ≤ ∆ = 1 − α
s s
n
⇔ ∆ = F −1 (1 − α).
s
Beispiel 10.8. Zum gleichen Signifikanzniveau α = 5% soll geprüft werden, ob
µ ≥ 1 gilt. Es ist −3.444 ≤ F −1 (0.95) = 2.132. Die Kunden werden also nicht betrogen.
Wenn σ bekannt ist oder die Stichprobe groß genug ist, kann wie üblich die
Normalverteilung statt der Student-t-Verteilung verwendet werden. In ersterem
Fall ist natürlich σ statt s zu verwenden.
Oft werden zwei Stichproben miteinander verglichen, um zu sehen, ob sie
sich signifikant unterscheiden. Das macht man mit dem sogenannten doppelten
t -Test. Wenn die echten Varianzen der beiden Stichproben gleich sind, dann
kann man die Mittelwerte vergleichen.
57