Skriptum

Beispiel 8.10. Rote und grüne Äpfel werden in Packungen zu je 12 Äpfel verpackt.
Der (unbekannte) Anteil der roten Äpfel sei p. In einer Stichprobe werden 5, 7, 8
und 10 rote Äpfel pro Packung gezählt. X sei die Anzahl der roten Äpfel in einer
Packung: X ∼ B 12,p .
P(X 1 = 5 ∩ X 2 = 7 ∩ X 3 = 8 ∩ X 4 = 10)
(
(
(
( )
12
=
)p 5 (1 − p) 7 12
)p 7 (1 − p) 5 12
)p 8 (1 − p) 4 12
p 10 (1 − p) 2 .
5
7
8
10
( ) ( )
12 12
lnP(...) = ln ··· + 5ln p + 7ln(1 − p) + 7ln p + 5ln(1 − p) + 8ln p
5 10
( ) ( )
12 12
+ 4ln(1 − p) + 10ln p + 2ln(1 − p) = ln ··· + 30ln p + 18ln(1 − p).
5 10
dlnP(...)
dp
= 0 + 30 1 p − 18 1 !
= 0
1 − p
⇔ 30(1 − p) = 18p ⇔ 30 = 48p ⇔ p = 30
48 = 5 8 = 0.625.
Beachte: Wegen np = 12 5 8
= 7.5 = ¯x entspricht das auch dem Ergebnis der Momentenmethode.
Es ist zu beachten, dass diese Schätzmethoden nicht automatisch in jedem
Fall einen erwartungstreuen Schätzer liefern.
9 Kondenzintervalle
Der wahre Kennwert eines Modells und der zugehörige Schätzwert werden in der
Regel von einander abweichen. Es macht daher keinen Sinn, einen Schätzwert
bis in die letzte Kommastelle anzugeben, wenn der wahre Kennwert mit großer
Wahrscheinlichkeit stark abweicht. Man gibt daher oft besser einen Bereich an,
der den Kennwert mit gewisser (großer) Wahrscheinlichkeit enthält: das Konfidenzintervall,
auch Intervallschätzer genannt.
Definition 9.1. Ein Intervall [a,b] heißt Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau
(Sicherheit) 1 − α für den Kennwert θ, wenn gilt:
P(a ≤ θ ≤ b) ≥ 1 − α.
α heißt auch Irrtumswahrscheinlichkeit.
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