Skriptum

Das gilt auch mehrdimensional. Wenn X : Ω −→ R 2 eine zweidimensionale Zufallsvariable
ist und eine Dichtefunktion f X : R 2 −→ R hat, das heißt ∫ a
∫ b
−∞ −∞
f X (x 1 , x 2 )dx 2 dx 1 = P(X 1 ≤ a ∧ X 2 ≤ b), weiters g : R 2 −→ R integrierbar, dann
gilt
∫
∫ b
∫ d
g (X (ω))dP(ω) = g (x 1 , x 2 )f X (x 1 , x 2 )dx 2 dx 1 .
X ∈[a,b]×[c,d]
Beweis. Das ist ein wichtiger Satz aus der Maßtheorie. Siehe also dort.
a
Satz 6.37. Erwartungswert E(X ), Varianz V(X ) und Standardabweichung σ X =
V(X ) werden hier über Integrale (statt Summen) berechnet.
c
E(X ) =
∫ +∞
−∞
x f X (x)dx
V(X ) = E((X − E(X )) 2 ) =
= E(X 2 ) − (E(X )) 2 =
Beweis. Ergibt sich aus Satz 6.36.
Beispiel 6.38.
E(X ) =
V(X ) =
σ X =
∫ R
0
∫ R
0
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
r 2r
R 2 dr = 2 r 3
R
R 2 3
∣ = 2R
0 3 ,
r 2 2r ( ) 2R 2
R 2 dr − = 2 r 4
3 R 2 4
∣
R
18
≈ 0.236R .
(x − E(X )) 2 f X (x)dx
x 2 f X (x)dx − (E(X )) 2 .
R
0
− 4R2
9 = R2
2 − 4R2
9 = R2
18 ,
Definition 6.39. Eine Zufallsvariable X besitzt die stetige Gleichverteilung zwischen
a und b, wenn gilt
f X (x) =
{ 1
b−a
a ≤ x ≤ b
0 sonst.
Satz 6.40.
E(X ) = a + b
2
(b − a)2
, V(X ) = .
12
33