Skriptum

der Wahrscheinlichkeitstheorie fehlte, die erst Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelt
wurde.
Ein Ereignis wie z.B. „5 gewürfelt“ ist eine Abstraktion, weil es viele Details
wie etwa die Lage des Würfel ignoriert. Es fasst daher viele mögliche Ereignisse
zusammen. Weiters gilt auch „Zahl größer 4 gewürfelt“ als Ereignis, welches
nochmals zwei Ereignisse zusammenfasst, nämlich „5 gewürfelt“ und „6 gewürfelt“.
Daher werden Ereignisse als Mengen abgebildet.
Die Elemente, aus denen diese Mengen gebildet werden, nennt man Ergebnisse,
weil sie die möglichen Ergebnisse eines Zufallsprozesses sind. Sie werden
in der Ergebnismenge zusammengefasst.
Definition 3.1. Der Ergebnisraum (oft auch Grundmenge) Ω ist die Menge aller
möglichen Ergebnisse eines Zufallsprozesses.
Definition 3.2. Ein Ereignisraum (Ω,Σ) besteht aus einer Menge Σ von Ereignissen
e aus dem Ergebnisraum Ω, e ∈ Σ, e ⊆ Ω, und erfüllt folgende Axiome (σ-
Algebra):
• Ω ∈ Σ, ∈ Σ
• e ∈ Σ ⇒ Ω \ e ∈ Σ
• e 1 ,e 2 ,... ∈ Σ ⇒ ⋃ i
• e 1 ,e 2 ,... ∈ Σ ⇒ ⋂ i
e i ∈ Σ
e i ∈ Σ
Das erste Axiom stellt sicher, dass Ω selbst, das sichere Ereignis, sowie die leere
Menge , das unmögliche Ereignis, im Ereignisraum enthalten sind. Das zweite
bewirkt, dass zu jedem Ereignis e auch das Gegenereignis ē = Ω \ e enthalten
ist. Die letzten zwei Axiome stellen sicher, dass die Vereinigung und der Durchschnitt
beliebiger Ereignisse enthalten sind. Man beachte, dass sowohl Ω als auch
Σ unendlich groß sein können. Daher reicht es nicht, nur die Vereinigung zweier
Ereignisse zu inkludieren, sondern es muss auch die Vereinigung abzählbarunendlich
vieler Ereignisse inkludiert sein, was nicht automatisch folgen würde.
Beispiel 3.3. Beim Werfen eines Würfels ist der Ergebnisraum Ω = {1,2,3,4,5,6}
und der Ereignisraum Σ = {{1},{2},{1,2},...,{1,2,3,4,5,6}}. Das Elementarereignis
„Zahl 4 gewürfelt“ entspricht dem Element 4 bzw. der einelementigen Teilmenge
{4}. Das Ereignis „Zahl kleiner 3 gewürfelt“ entspricht der Menge e 1 = {1,2} ⊆ Ω,
„Zahl größer 4“ entspricht e 2 = {5,6} ⊆ Ω.
Die Vereinigung zweier Ereignisse interpretiert man als „oder“. e 1 ∪e 2 bedeutet
also „Zahl kleiner 3 oder größer 4 gewürfelt“. Gleichermaßen interpretiert man
12