Skriptum

Beweis. Die charakteristische Funktion von X sieht so aus:
ϕ X (ω) = 1
2π
∫ ∞
−∞
e iωx e − x2 2 dx .
Wir schauen uns jetzt die Ableitung davon an, um zu sehen, ob diese mit der
charakteristischen Funktion in Beziehung gesetzt werden kann, quasi als Differentialgleichung.
ϕ ′ X (ω) =
d
dω ϕ X (ω) = 1 ∫ ∞
2π
−∞
= 1
2π
∫ ∞
ixe iωx e − x2 2
d
dx
−ie iωx
x2
−∞ dx e− 2
∫ ∞
= − i
2π
(e iωx e − x2 2
= − ω
2π
∫ ∞
−∞
= −ωϕ X (ω).
e iωx e − x2 2
∣ ∞ −∞
−
dx
dx
−∞
iωe iωx e − x2 2 dx
)
Das heißt, wir suchen eine Funktion ϕ X , für die gilt, dass ϕ ′ X (ω) = −ωϕ X (ω) ist.
Tatsächlich gilt das für e − ω2
2 :
d
dω
(
ω2
e− 2 = e
− ω2
2 · − 2ω 2
)
= −ωe − ω2
2 .
Auch muss ϕ X (0) = 1 gelten, was auch erfüllt ist. Damit ist ϕ X (ω) mit e − ω2
2 eindeutig
bestimmt.
Wir zeigen nun die Konvergenz der Summe nach eben dieser Funktion.
Satz 7.8. Es sei Y n := 1
n
(X 1 + X 2 + ... + X n ). Dann gilt ϕ Yn (ω) −−−−→ n→∞
e − ω2
2 .
Beweis.
ϕ Yn = ϕ X 1 n
+...+ Xn n
= ϕ X 1 n
· ϕ X 2 n
···ϕ Xn n
= ϕ n X n
,
wobei X eine weitere Zufallsvariable mit der gleichen Verteilung wie X k ist. Unter
Verwendung der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion e a = 1+a+ a2
2 + a3
3! +
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