Skriptum

8 Schätzer
Stichproben werden als Realisierung von Zufallsvariablen betrachtet. Die Ähnlichkeit
zwischen Kennwerten von Stichproben und Kennwerten von Zufallsvariablen
(z.B. arithmetisches Mittel und Erwartungswert) ist nicht zufällig: die ersteren
dienen als Schätzwerte für letztere. Zufallsvariablen sind ein Modell der
Realität. Deren Kennwerte sind Modellparameter, die es gilt durch Beobachtung
der Realität (Empirik) abzuleiten.
Definition 8.1. Die Realisierung x einer Zufallsvariable X ist ein reeller Wert, der
zufällig nach der Verteilung von X erzeugt wurde. Eine Stichprobe {x 1 , x 2 ,..., x n }
ist die Realisierung einer Folge von unabhängigen Zufallsvariablen {X 1 , X 2 ,..., X n }
mit gleicher Verteilung wie X .
Beispiel 8.2. Ein Würfel wird 10 mal geworfen. Die Stichprobe x = {x 1 ,..., x 10 },
die man dabei erhält, ist die Realisierung der Folge von unabhängigen Zufallsvariablen
{X 1 ,..., X 10 }, die alle die selbe Verteilung haben wie der Prototyp X , nämlich
die Gleichverteilung auf {1,...,6}.
Definition 8.3. Sei θ(X ) ein Kennwert oder Parameter von X . x sei eine Stichprobe
von X mit der Größe n. Die Funktion ˆθ : R n −→ R, x → ˆθ(x) ist ein erwartungstreuer
(Punkt-)Schätzer für θ, wenn E( ˆθ(X 1 ,..., X n )) = θ(X ). Der Schätzer
n→∞
n→∞
ist konsistent, wenn er gegen θ(X ) konvergiert (d.h. E( ˆθ) −−−−→ θ und V( ˆθ) −−−−→
0).
Beispiel 8.4. Wir überprüfen, ob die empirische Varianz ˆθ(x 1 ,..., x 10 ) := s 2 tatsächlich
ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz θ(X ) := V (X ) ist:
E( ˆθ(X 1 ,..., X 10 )) = E( 1 9 (X 2 1 + ... + X 2 10 − 10 ¯x2 ))
= 1 9 E(X 1 2 + ... + X 10 2 − 1
10 (X 1 + ... + X 10 ) 2 ) = 1 9 E( 9
10 X 1 2 + ... + 9
10 X 10 2 − 1
10
∑
X i X j )
= 1 9
9 10 (E(X 1 2 )+...+E(X 10 2 ))− 1 1 ∑
E(X i )E(X j ) = 1
9 10
10 10E(X 2 )− 1 1
10·9(E(X ))2
9 10
i≠j
i≠j
= E(X 2 ) − (E(X )) 2 = V(X ).
Meistens werden die Parameter einer Verteilung geschätzt wie z.B. µ,σ bei
N µ,σ
2 oder n, p bei B n,p . D.h. damit wird das Modell (die Art der Verteilung) an die
Stichprobe (also an die Realität) angepasst. Es gibt folgende wichtige Methoden,
Parameterschätzer zu konstruieren: die Momentenmethode, die Methode der
kleinsten Quadrate und die Maximum-Likelihood-Methode.
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