Skriptum

Es reicht nun, die Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse X = x oder besser
X ≤ x zu kennen, um eine Zufallsvariable vollständig beschreiben zu können.
Definition 6.3. Die Verteilungsfunktion F X : R −→ [0,1] ist
F X (x) := P(X ≤ x).
Ist der Wertebereich der Zufallsvariablen diskret (also z.B. N), dann spricht
man von einer diskreten Verteilung. Die Verteilungsfunktion, als Funktion reeller
x betrachtet, ist dann unstetig in den diskreten Werten und dazwischen konstant,
also eine Treppenfunktion, die in −∞ mit dem Wert 0 beginnt, in den diskreten
Werten um P(X = x) springt, und in +∞ mit dem Wert 1 endet.
Ist die Verteilungsfunktion dagegen absolut stetig, spricht man von einer stetigen
Verteilung. Es ist dann überall P(X = x) = 0. Die Verteilungsfunktion ist
fast überall differenzierbar und kann als Integral einer Dichtefunktion dargestellt
werden. Wir beschränken uns in der Folge auf diskrete und stetige Verteilungen
mit Z und R als Wertebereiche.
Definition 6.4. Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum soll ein Integral definiert sein,
das folgendermaßen geschrieben wird
∫
X (ω)dP(ω),
A
und den Inhalt unter der Funktion X : Ω −→ R über der Teilmenge A ⊆ Ω (A ∈
Σ) berechnet, wobei die Teilbereiche von A entsprechend P gewichtet werden
sollen. Das Integral soll folgende Kriterien erfüllen. Erstens soll das Integral von
1 dem Wahrscheinlichkeitsmaß entsprechen:
∫
dP(ω) = P(A).
Zweitens soll das Integral folgende Linearität besitzen:
∫
∫
aX (ω) + bY (ω)dP(ω) = a X (ω)dP(ω) + b
A
A
A
∫
Y (ω)dP(ω),
A
wobei a,b konstant sind und X ,Y : Ω −→ R integrierbare Funktionen. Der Wertebereich
von X ,Y kann auch höherdimensional sein, also R n oder C. In dem Fall
sollen die Koordinatenfunktionen die selben Kriterien erfüllen.
Definition 6.5. Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist definiert durch
∫
E(X ) := X (ω)dP(ω).
Ω
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