Skriptum

Beweis.
n − 1
σ 2 s2 = n − 1 1
σ 2 n − 1
n∑
(X i − ¯x) 2 = 1 n∑
σ 2 (X i − µ + µ − ¯x) 2
i=1
i=1
= 1 n∑ (
(Xi
σ 2 − µ) 2 + 2(X i − µ)(µ − ¯x) + (µ − ¯x) 2)
i=1
( )
= 1 n∑ n∑ (
σ 2 (X i − µ) 2 + 2n( ¯x − µ)(µ − ¯x) + n(µ − ¯x) 2 Xi − µ
=
i=1
i=1
}
∼N 0,1
{{ }
) 2
} {{
σ
}
∼χ 2 n
) 2 ( µ − ¯x
−
σ/ n
} {{ }
,
}
∼N 0,1
{{ }
∼χ 2 1
und da χ 2 n−1 + χ2 1 = χ2 n ist, ist χ2 n − χ2 1 = χ2 n−1
. Für das Konfidenzintervall gilt:
( (n − 1)s
2
) (
P
F −1 (1 − α 2 ) ≤ (n − σ2 1)s2
( ≤
F −1 ( α 2 ) = P F −1 1 − α )
(n − 1)s2
≥
2 σ 2
( ≥ F −1 α
) )
2
= 1 − α 2 − α 2 = 1 − α.
Beispiel 9.5. σ sei nun unbekannt und muss aus der Stichprobe geschätzt werden.
Es gilt: σ 2 liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% (Konfidenzniveau) in
dem Intervall [ 4 · 669
9.488 , 4 · 669 ]
≈ [282,3764].
0.711
σ liegt daher im Intervall [16.8,61.3]. Die Werte 9.488,0.711 stammen aus der χ 2 -
Tabelle für 1 − α 2 = 0.95, α 2
= 0.05 und n − 1 = 4.
Satz 9.6. Wenn σ unbekannt ist, dann verhält sich ¯x gemeinsam mit s nach einer
Student-t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden:
¯x − µ
s / n ∼ t n−1 .
Es ist
[
¯x − K s , ¯x + K s ]
n n
ein Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 1 − α, wobei K = F −1 (1 − α 2 )
und F die Verteilungsfunktion von t n−1 ist.
Beweis.
¯x − µ
s / n = ¯x − µ
σ / n · σ
s = ¯x − µ
σ / n
(
P ¯x − K s ≤ µ ≤ ¯x + K s )
= P
n n
/√
n − 1 1
/√
σ 2 s2 n − 1 ∼ N 0,1 χ 2 n−1/
(n − 1) = tn−1 .
(
−K ≤ µ − ¯x
s / n ≤ K )
= 1 − α 2 − α 2 = 1 − α.
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