Skriptum

Satz 6.24. Zur Plausibilität zeigen wir wieder ∑ k f X (k) = 1.
Beweis. S = ∑ ∞
k=1 p(1−p)k−1 = p+ ∑ ∞
k=2 p(1−p)k−1 = p+(1−p) ∑ ∞
k=1 p(1−p)k−1 =
p + (1 − p)S ⇒ S(1 − (1 − p)) = p ⇒ Sp = p ⇒ S = 1.
Satz 6.25. Seien e = (e 1 ,e 2 ,...) die Ausgänge von unendlich vielen Versuchen,
A i ,ei das Ereignis „Versuch i ergibt e i “, P(A i ,1 ) := p, A e das Gesamtereignis für
alle Ausgänge, und für ω ∈ A e sei X (ω) := k so dass e k = 1 und e j = 0 für alle j < k.
Dann ist X ∼ G p .
Beweis. P(X = k) = P(A 1,0 ∩ A 2,0 ∩ ... ∩ A k,1 ) = (1 − p) k−1 p.
Satz 6.26. X ∼ G p ⇒ F X (m) = 1 − (1 − p) m .
Beweis. F X (m) = ∑ m
k=1 p(1 − p)k−1 = 1 − ∑ ∞
k=m+1 p(1 − p)k−1 = 1 − (1 − p) m ∑ ∞
k=1
p(1 − p) k−1 = 1 − (1 − p) m .
Satz 6.27. X ∼ G p ⇒
Beweis.
E(X ) =
E(X ) = 1 p ,
V(X ) = 1 − p
p 2 .
∞∑
∞∑
∞∑
kp(1−p) k−1 = p + kp(1−p) k−1 = p +(1−p) (k +1)p(1−p) k−1
k=1
k=2
( ) ∞∑ ∞∑
= p + (1 − p) kp(1 − p) k−1 + p(1 − p) k−1 = p + (1 − p)(E(X ) + 1)
k=1
k=1
k=1
⇒ E(X )(1 − (1 − p)) = p + (1 − p) = 1 ⇒ E(X ) = 1 p .
E(X 2 ) =
∞∑
∞∑
k 2 p(1 − p) k−1 = p + (1 − p) (k + 1) 2 p(1 − p) k−1
k=1
( )
∞∑ ∞∑
∞∑
= p + (1 − p) k 2 p(1 − p) k−1 + 2 kp(1 − p) k−1 + p(1 − p) k−1
k=1
k=1
k=1
k=1
= p + (1 − p)(E(X 2 ) + 2E(X ) + 1)
( ) 2
⇒ E(X 2 )(1 − (1 − p)) = p + (1 − p)
p + 1 = 2 p − 1 ⇒ E(X 2 ) = 2 p 2 − 1 p
⇒
V(X ) = E(X 2 ) − E(X ) 2 = 2 p 2 − 1 p − 1 p 2 = 1 p 2 − 1 p = 1 − p
p 2 .
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