Skriptum

Definition 11.7. Mit Monte-Carlo-Methoden berechnet man näherungsweise
numerische Integrale. Wenn g : [0,1] −→ R und X auf [0,1] gleichverteilt ist, dann
ist E(g (X )) = ∫ 1
0 g (x)dx. Die Vorgangsweise ist nun, n Zufallszahlen x 1,..., x n mit
einer Gleichverteilung auf [0,1] zu erzeugen. Mit y i := g (x i ) ist ȳ ein Schätzwert
für ∫ 1
0 g (x)dx.
Diese Methode funktioniert vor allem in höheren Dimensionen sehr gut.
Beispiel 11.8. Es ist das Integral
∫ 1
∫ 1
0
0
exp( √ 1 + x 1 + cos(πx 2 ))dx 1 dx 2
näherungsweise zu lösen. Folgendes Programm berechnet die Approximation:
c ← 0, q ← 0
Wiederhole n-mal:
x 1 ← rand(0,1), x 2 ← rand(0,1)
y ← exp( 1 + x 1 + cos(πx 2 ))
c ← c + y, q ← q + y 2
ȳ ← c q−c·ȳ
n
, V (y) ←
n−1 , s ← √ V (y)
Summen initialisieren
Zufallszahlen generieren
Funktion berechnen
Aufsummieren von c = ∑ y i , q = ∑ y 2 i
Schätzer berechnen
Für n = 100000 ergibt sich: ȳ ≈ 3.426, s ≈ 1.09. Die Abweichung der Schätzung
kann wiederum mit sȳ ≈ s
n
≈ 0.00345 geschätzt werden.
Definition 11.9. Bei der Simulation zeitlicher Prozesse werden Ereignisse in chronologischer
Abfolge nachgebildet. Das System hat einen aktuellen Zustand und
einen aktuellen Zeitpunkt. Iterativ wird der aktuelle Zeitpunkt auf das nächste
Ereignis verschoben und der neue Systemzustand berechnet.
Beispiel 11.10. Ein Router benötigt T ms, um ein Paket zu routen. Die Zeit ∆ zwischen
der Ankunft zweier Pakete sei exponentialverteilt mit Parameter β. Pakete
müssen in einer Warteschlange warten. Der Systemzustand ist w, der nächstmögliche
Zeitpunkt zur Bearbeitung eines neuen Pakets. Gesucht ist die durchschnittliche
Verweilzeit.
c ← 0, q ← 0, w ← 0
Wiederhole n-mal:
∆ ← − 1 β ln(rand(0,1))
w ← max(w − ∆,0) + T
c ← c + w, q ← q + w 2
Initialisierung
nächstes Paket in ∆ ms
neuen Systemzustand berechnen
Paket verweilt also w ms
¯w ← c q−c· ¯w
n
, V (w) ←
n−1 , s ← V (w) Schätzer berechnen
Für 1 β
= 10, T = 7, n = 1000000 ergibt sich: ¯w ≈ 15.21, s ≈ 10.28.
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