Skriptum

ausfallen. Es ergibt sich daher folgender Annahmebereich: Wenn
s 2¯x
s 2 ≤ F −1 (1 − α),
dann wird H 0 angenommen, ansonsten verworfen, wobei F die Verteilungsfunktion
von F m−1,n−m ist.
Beweis. Wir trennen zuerst die Gesamt-Varianz in die beiden obigen Varianzen
auf und ermitteln deren Verteilung.
( ) ( ( ) )
χ 2 n−1 ∼ n − 1
σ 2 s2 = 1 ∑ ∑
σ 2 X 2 i ,j − n ¯x2 = 1 ∑ ∑
i j
σ 2 X 2 i ,j − n i ¯x 2 i + n i ¯x 2 i
− n ¯x 2
i j
= ∑ n i − 1
i
σ 2 s 2 i
+ 1 ∑
} {{ }
σ 2 n i ¯x 2 i − n ¯x2 = n − m
i
σ 2 s 2 + m − 1
σ 2 s 2¯x .
} {{ }
}
∼χ 2 n i −1
{{ }
⇒∼χ 2 m−1
∼χ 2 n−m
Daher ist der Varianz-Quotient F -verteilt:
s 2¯x
1
=
s 2
(m−1)σ 2 (∑
i n i ¯x 2 i − n ¯x2)
1
(n−m)σ 2 ∑i (n i − 1)s 2 i
/
∼ χ2 m−1 (m − 1)
χ 2 / = F m−1,n−m .
n−m (n − m)
Die bisherigen Tests nennt man parametrische Tests, weil sie sich auf einen
Parameter der jeweiligen Verteilung beziehen. Im folgenden betrachten wir einige
nicht-parametrische Tests. Der folgende Test überprüft die Hypothese, dass X
eine bestimmte Verteilung V besitzt: H 0 : X ∼ V .
Satz 10.13 (χ 2 -Anpassungstest). Der Wertebereich wird in m Klassen [a i ,b i ) eingeteilt.
Es fallen n i Stichprobenwerte in die i -te Klasse. n i sollte für X ∼ V annähernd
gleich np i = nP(a i ≤ X < b i ) sein. Es gilt annähernd: ∑ m (n i −np i ) 2
i=1 np i
∼ χ 2 m−1 .
Deshalb heißt dieser Test χ 2 -Test. Es sollte n ≥ 30 und für jede Klasse sowohl
n i ≥ 5 als auch np i ≥ 5 erfüllt sein. Also gilt: Wenn
m∑ (n i − np i ) 2
≤ F −1 (1 − α),
np i
i=1
dann wird H 0 : X ∼ V beibehalten, ansonsten verworfen, wobei F die Verteilungsfunktion
von χ 2 m−1 ist. 60