Skriptum

Definition 8.5. Bei der Momentenmethode werden die Parameter so gewählt,
dass der Erwartungswert der Verteilung dem arithmetischen Mittel der Stichprobe
entspricht und die Varianz der empirischen Varianz: E(X ) = ¯x, V(X ) = s 2 x .
Das ergibt ein Gleichungssystem mit den gesuchten Parametern als Unbekannte.
Wird nur ein Parameter gesucht, reicht E(X ) = ¯x aus. Werden mehr als zwei
Parameter gesucht, muss man weitere Momente (Schiefe, Exzess) heranziehen.
Beispiel 8.6. Gegeben sei die Stichprobe x = {4.5,4.9,5.1,5.7,6.4}. Wir nehmen
an, dass die Werte gleichverteilt sind auf [a,b] (Modell), wobei a und b zu schätzen
ist (Modellanpassung). Wir setzen
E(X ) = ¯x
⇔
V(X ) = s 2 x ⇔
a + b
= 5.32
2
⇔ a + b = 10.64,
(b − a)2
= 0.552
12
⇔ b − a = 2.574.
Die Lösung dieser zwei Gleichungen ergibt: a = 4.033,b = 6.607.
Definition 8.7. Bei der Methode der kleinsten Quadrate wird eine Funktion g (X )
gewählt, deren Erwartungswert den gesuchten Parameter ergibt: E(g (X )) = θ.
Dann wird der Ausdruck ∑ n
i=1 (g (x i ) − θ) 2 durch Wahl von θ minimiert (Ableiten
nach θ und Nullsetzen).
Beispiel 8.8. Wir wollen E(X ) schätzen und wählen daher einfach g (X ) := X . Der
Ausdruck ∑ n
i=1 (x i − θ) 2 wird nach θ abgeleitet und nullgesetzt:
n∑
−2(x i − θ) = 0
i=1
⇔
Also der Mittelwert, wie wir ihn kennen.
n∑
i=1
x i = nθ ⇔ θ = 1 n
n∑
x i .
Definition 8.9. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gegebene Stichprobe {x 1 ,..., x n }
auftritt, ist bei diskreten Zufallsvariablen
L(x) := P(X 1 = x 1 ∩ ... ∩ X n = x n ) = f X (x 1 )f X (x 2 )··· f X (x n ).
Bei der Maximum-Likelihood-Methode wird dieser Ausdruck durch die Wahl der
Parameter maximiert. Erleichtert wird das meist dadurch, dass man davon noch
den Logarithmus nimmt:
logL(x) = log f X (x 1 ) + ... + log f X (x n ).
Das Maximum findet man nun einfach durch Ableiten nach den Parametern und
Nullsetzen der Ableitung. Bei stetigen Verteilungen ist P(X 1 = x 1 ∩ ...) natürlich
gleich null. Man verwendet daher einfach den Term f X (x 1 )f X (x 2 )··· f X (x n ).
i=1
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