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Beispiel 1.6. Wir wählen die gleichmäßig verteilten Klassengrenzen {0,1,2,...} und berechnen zunächst die absoluten Häufigkeiten, z.B. H 3 = |{i | 2 ≤ x i < 3}| = |{2.36,2.53,2.90}| = 3, und die relativen Häufigkeiten, z.B. h 3 = H 3 n = 3 16 ≈ 0.19. Dann zeichnen wir die Histogramme wie in Abbildung 1. Die Wahl der Klassenbreite ist wichtig, wie man in Abbildung 2 sieht. Bei zu großer Klassenbreite zeigen zwar die Balkenhöhen aussagekräftige Werte an, aber die Auflösung des Wertebereichs ist zu gering. Bei zu kleiner Klassenbreite sind wiederum die Balkenhöhen zu gering aufgelöst. Vor allem wenn die Klassenbreiten nicht gleich sind, ist es sinnvoll, die Balkenhöhe umgekehrt proportional zur Klassenbreite zu skalieren. Definition 1.7. Die skalierte Balkenhöhe der k-ten Klassen ist die relative Häufigkeit dividiert durch die Klassenbreite: h k b k −b k−1 . Dadurch entspricht der Flächeninhalt des Balkens der Häufigkeit: A k = (b k − h b k−1 ) k b k −b k−1 = h k . Beispiel 1.8. Wir wählen die ungleichmäßig verteilten Klassengrenzen {0,1,2,4, 7,10} und berechnen die relativen Häufigkeiten, z.B. h 3 = 4 16 = 0.25 und die skalierten Balkenhöhen h 3 b 3 −b 2 = 0.25 4−2 = 0.125. Dann zeichnen wir die Histogramme wie in Abbildung 3. Definition 1.9. Die empirische Verteilungsfunktion F (x) gibt für jedes x ∈ R die relative Häufigkeit der Werte kleiner oder gleich x an: F (x) := 1 n |{i | x i ≤ x}| Beispiel 1.10. Die Werte der Verteilungsfunktion können für jedes beliebige x ausgerechnet werden, z.B. F (0.75) = 1 16 |{0.14,0.27,0.43,0.68}| = 4 16 = 0.25. Am besten rechnet man es aber für jeden Stichprobenwert x i aus und zeichnet zwischen den Punkten Plateaus ein. Das Ergebnis sieht man in Abbildung 4. Bei diskreten Merkmalen (x i ∈ N) ist es wahrscheinlich, dass gleiche Werte mehrmals auftreten. In diesem Fall ist es geschickter, die Werte in Form einer Häufigkeitstabelle anzugeben. Definition 1.11. Eine Häufigkeitstabelle gibt eine diskrete Stichprobe als Liste von Paaren (x i , H i ) an. Das bedeutet, dass der Wert x i mit der Anzahl H i auftritt. 4
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -2 0 2 4 6 8 10 Abbildung 4: Empirische Verteilungsfunktion Beispiel 1.12. i = 1...m, m = 5, n = x i 3 4 5 6 7 H i 2 5 7 6 3 m∑ H i = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23 i=1 Für das Histogramm reicht es meist, eine Klasse pro Wert x i zu verwenden und die absolute (H i ) oder relative Häufigkeit (h i = H i n ) aufzutragen. Definition 1.13. Die diskrete empirische Verteilungsfunktion ist dann F (x) = 1 n ∑ x i ≤x H i . Beispiel 1.14. Z.B.: x 2 = 4, H 2 = 5, h 2 = 5 23 ≈ 0.22. F (4.6) = 1 23 ∑ x i ≤4.6 H i = 2 + 5 23 = 7 23 ≈ 0.3. Eine Möglichkeit, die Verteilung bzw. die Eigenschaften der Verteilung einer Stichprobe zu beschreiben, ist die Analyse mittels Berechnung einer Reihe von Maßzahlen (Kennwerte, Lageparameter). Definition 1.15. Das arithmetische Mittel (der Mittelwert) einer Stichprobe x ist ¯x = 1 n n∑ i=1 x i = x 1 + x 2 + ... + x n n 5
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