Skriptum

P(A j,e j
) für i ≠ j . Wenn nun ∑ e i = k ist, dann ist daher P(A e ) = p k (1 − p) k . Die
Anzahl der möglichen Gesamtexperimente mit k Erfolgen aus n Experimenten
ist eine Kombination ohne Wiederholung. Ereignisse für verschiedene Ausgänge
schließen sich gegenseitig aus. Daher ist schließlich
P(X = k) = P ( ⋃
( )
) ∑ n
A e = P(A e ) = p k (1 − p) n−k .
k
Satz 6.21. Für X ∼ B n,p gilt
∑
ei =k
∑
ei =k
E(X ) = np ,
V(X ) = np(1 − p).
Beweis. X kann als Zusammensetzung X = X 1 + ... + X n von n einzelnen unabhängigen
Experimenten X i dargestellt werden, mit X i ∈ {0,1} und P(X i = 1) = p.
Dann ist
E(X ) = E(X 1 + ... + X n ) = n E(X 1 ) = n(1 · p + 0 · (1 − p)) = np .
V(X ) = E(X 2 ) − E(X ) 2 = E((X 1 + ... + X n ) 2 ) − (np) 2
= E (∑ )
X i X j − (np) 2 = ∑ E(X i X j ) − n 2 p 2 .
i ,j
i ,j
Nun ist für i = j : E(X 2 i ) = E(X i ) = p, weil 0 2 = 0 und 1 2 = 1. Für i ≠ j ist E(X i X j ) =
0 · 0 · (1 − p) 2 + 1 · 0 · p(1 − p) + 0 · 1 · (1 − p)p + 1 · 1 · p 2 = p 2 . Es gibt n Fälle für i = j
und n 2 − n Fälle für i ≠ j . Daher ist
V(X ) = np + (n 2 − n)p 2 − n 2 p 2 = np − np 2 = np(1 − p).
Beispiel 6.22. Ein Bauteil habe mit einer Wahrscheinlichkeit p = 0.3 einen Defekt.
In einer Schachtel seien 10 Bauteile. P(„genau 4 Bauteile defekt“) = P(X =
4) = ( 10) 4 0.3 4 0.7 6 ≈ 0.2. P(„maximal 4 Bauteile defekt“) = p 0 + p 1 + ...+ p 4 ≈ 0.03+
0.12 + ... + 0.2 ≈ 0.85. In einer Schachtel sind durchschnittlich E(X ) = 10 · 0.3 = 3
Bauteile defekt mit einer Standardabweichung von σ X = 10 · 0.3 · 0.7 ≈ 1.45.
Wenn man statt der Anzahl der erfolgreichen Versuche misst, wie viele Versuche
man benötigt, bis Erfolg eintritt, wobei die Anzahl der gesamten Versuche
nicht beschränkt ist, dann erhält man folgende Verteilung.
Definition 6.23. Eine Zufallsvariable besitzt die geometrische Verteilung, wenn
gilt
f X (k) = p(1 − p) k−1 .
Man schreibt X ∼ G p .
28