Skriptum

s
x
s
0 5 10
Abbildung 5: Stichprobe, arithmetisches Mittel und Standardabweichung.
Beispiel 1.16. Wir verwenden in diesem und folgenden Beispielen die Stichprobe
x = {5.1,7.7,5.9,3.9,9.5,7.1,6.3}.
5.1 + ... + 6.3
¯x =
7
= 45.5
7 = 6.5.
Definition 1.17. Die empirische Standardabweichung s und die empirische Varianz
s 2 sind Maße für die mittlere (quadratische) Abweichung der Stichprobenwerte
vom Mittelwert.
s 2 := 1 n∑
√
(x i − ¯x) 2 , s := s 2 .
n − 1
Beispiel 1.18.
i=1
s 2 = (5.1 − 6.5)2 + ... + (6.3 − 6.5) 2
6
= 19.92
6
Siehe Abbildung 5 für eine Veranschaulichung.
= 3.32, s = 2.32 ≈ 1.82.
Bemerkung: Es gibt auch die analog zu Zufallsvariablen definierte Varianz
σ 2 = 1 n
∑ (xi − ¯x) 2 . Diese liefert jedoch im Mittel nicht das zu erwartende Ergebnis
(siehe Kapitel Schätzer).
Satz 1.19 (Verschiebungssatz). Auf folgende Weise kann die empirische Varianz
oft einfacher berechnet werden.
(( ) )
s 2 = 1 n∑
x 2 i
− n ¯x 2
n − 1
i=1
Beweis.
1 n∑
(x i − ¯x) 2 = 1 n∑
(x 2 i
n − 1
i=1
n − 1
− 2x i ¯x + ¯x 2 )
i=1
= 1 ( ( ) ( )
n∑
n∑
− 2 x i
n − 1
i=1
x 2 i
i=1
} {{ }
=n ¯x
) (( ) )
¯x + n ¯x 2 = 1 n∑
x 2 i
− n ¯x 2
n − 1
i=1
6