Skriptum

Beweis.
P(d) = P(d \ e ∪ d ∩ e) = P(d \ e) + P(d ∩ e) ⇒ P(d \ e) = P(d) − P(d ∩ e),
P(e) = P(e \ d ∪ e ∩ d) = P(e \ d) + P(e ∩ d) ⇒ P(e \ d) = P(e) − P(d ∩ e),
P(d ∪ e) = P(d \ e ∪ e \ d ∪ d ∩ e) = P(d \ e) + P(e \ d) + P(d ∩ e)
= P(d) − P(d ∩ e) + P(e) − P(d ∩ e) + P(d ∩ e).
Sehr oft haben Ereignisse gleicher Größe (bezüglich der Ergebnisanzahl) auch
die gleiche Wahrscheinlichkeit. Das muss nicht so sein, aber wenn es für den ganzen
Wahrscheinlichkeitsraum zutrifft, dann gilt folgendes Modell:
Definition 3.9. Im Laplace-Modell (oder nach der Laplace-Annahme) für endliche
Wahrscheinlichkeitsräume haben alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit
p.
∀ω ∈ Ω : P({ω}) = p .
Satz 3.10. Im Laplace-Modell kann die Wahrscheinlichkeit als relative Größe des
Ereignisses berechnet werden:
∀e ∈ Σ : P(e) = |e|
|Ω|
Das nennt man oft das Prinzip „günstige durch mögliche Ergebnisse“. Insbesondere
gilt für Elementarereignisse
Beweis.
1 = P(Ω) = P (⋃ i
{ω i } ) = ∑ i
∀ω ∈ Ω : P({ω}) = 1
|Ω| .
P({ω i }) = ∑ i
p = |Ω|p ⇒ p = 1
|Ω| .
P(e) = P ( ⋃ {ω} ) = ∑ P({ω}) = |e|p = |e|
ω∈e ω∈e
|Ω| .
Beispiel 3.11. Im Würfel-Beispiel gilt die Laplace-Annahme und daher für die
Elementarereignisse P({1}) = P({2}) = ... = P({6}) =
. Weiters gilt
|{1}|
|{1,2,3,4,5,6}|
= 1 6
|{1,2}|
P(e 1 ) = P(„kleiner 3“) = P({1,2}) =
|{1,2,3,4,5,6}| = 2 6 = 1 3 . Und da e 1 und e 2 aus Beispiel
3.3 disjunkt sind, gilt P(e 1 ∪ e 2 ) = P({1,2,5,6}) = 2 3 = P(e 1) + P(e 2 ) = 1 3 +
1
3
. Hingegen ist nach dem Additionssatz P(„gerade oder kleiner 4“) = P({2,4,6} ∪
{1,2,3}) = P({2,4,6})+P({1,2,3})−P({2}) = 1 2 + 1 2 − 1 6 = 5 6
. Und für das Gegenereignis
gilt P(„nicht kleiner 3“) = P(ē 1 ) = 1 − P(e 1 ) = 1 − 1 3 = 2 3 .
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