Skriptum

Wenn der Getränkeabfüller behauptet, die mittlere Füllmenge sei mindestens
ein Liter, dann muss der Getränkelieferant in Kauf nehmen, in Summe zu viel an
die Kunden zu liefern. Die Hypothese lautet: H 0 : E(X ) ≥ 1, H 1 : E(X ) < 1.
Definition 10.3. Ein statistischer Test soll nun klären, ob H 0 beibehalten oder
verworfen werden soll. Dabei unterscheidet man zwei Arten von Fehlern:
H 0 wahr H 0 falsch
H 0 angenommen korrekt Fehler 2. Art
H 0 verworfen Fehler 1. Art korrekt
Als schwerwiegenderer Fehler wird hier der Fehler 1. Art betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit,
dass man diesen Fehler begeht, soll nicht größer als α sein (im
Zweifel für den Angeklagten). α heißt Signifikanzniveau.
Definition 10.4. Für den Schätzwert ˆθ(x) zu einer Stichprobe x = {x 1 ,..., x n } wird
ein Annahmebereich A um θ 0 konstruiert. Wenn ˆθ(x) in A liegt, soll H 0 angenommen
werden. Um das Signifikanzniveau einzuhalten, sollte A möglichst klein
aber so gewählt werden, dass noch gilt:
P( ˆθ(X 1 ,..., X n ) ∈ A | H 0 ) ≥ 1 − α.
Der komplementäre Wertebereich Ā heißt Verwerfungsbereich.
Im Folgenden nehmen wir an, X sei normalverteilt: X ∼ N µ,σ 2. Als θ(X ) wählen
wir E(X ) und daher ˆθ(x) = ¯x. σ sei unbekannt.
Satz 10.5 (Zweiseitiger t-Test). Für die zweiseitige Fragestellung mit der Hypothese
H 0 : µ = µ 0 gilt folgender Annahmebereich: Wenn
n
( | ¯x − µ 0 | ≤ F −1 1 − α )
,
s
2
dann wird die Hypothese µ = µ 0 beibehalten, ansonsten verworfen, wobei F die
Verteilungsfunktion von t n−1 ist.
Beweis. Wir konstruieren einen Annahmebereich µ 0 ± ∆ für ¯x. Wir wissen, dass
( ¯x − µ) ∼ t n−1 . Daraus folgt
n
s
P(µ 0 − ∆ ≤ ¯x ≤ µ 0 + ∆ | µ = µ 0 ) = 1 − α
( )
n n
⇔ P | ¯x − µ 0 | ≤ ∆
s s
∣ µ = µ 0 = 1 − α
n
( ⇔ ∆ = F −1 1 − α )
.
s
2
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