Skriptum

Beispiel 1.6. Wir wählen die gleichmäßig verteilten Klassengrenzen {0,1,2,...}
und berechnen zunächst die absoluten Häufigkeiten, z.B. H 3 = |{i | 2 ≤ x i < 3}| =
|{2.36,2.53,2.90}| = 3, und die relativen Häufigkeiten, z.B. h 3 = H 3
n = 3
16 ≈ 0.19.
Dann zeichnen wir die Histogramme wie in Abbildung 1.
Die Wahl der Klassenbreite ist wichtig, wie man in Abbildung 2 sieht. Bei
zu großer Klassenbreite zeigen zwar die Balkenhöhen aussagekräftige Werte an,
aber die Auflösung des Wertebereichs ist zu gering. Bei zu kleiner Klassenbreite
sind wiederum die Balkenhöhen zu gering aufgelöst.
Vor allem wenn die Klassenbreiten nicht gleich sind, ist es sinnvoll, die Balkenhöhe
umgekehrt proportional zur Klassenbreite zu skalieren.
Definition 1.7. Die skalierte Balkenhöhe der k-ten Klassen ist die relative Häufigkeit
dividiert durch die Klassenbreite:
h k
b k −b k−1
.
Dadurch entspricht der Flächeninhalt des Balkens der Häufigkeit: A k = (b k −
h
b k−1 ) k
b k −b k−1
= h k .
Beispiel 1.8. Wir wählen die ungleichmäßig verteilten Klassengrenzen {0,1,2,4,
7,10} und berechnen die relativen Häufigkeiten, z.B. h 3 = 4
16
= 0.25 und die skalierten
Balkenhöhen h 3
b 3 −b 2
= 0.25
4−2
= 0.125. Dann zeichnen wir die Histogramme
wie in Abbildung 3.
Definition 1.9. Die empirische Verteilungsfunktion F (x) gibt für jedes x ∈ R die
relative Häufigkeit der Werte kleiner oder gleich x an:
F (x) := 1 n |{i | x i ≤ x}|
Beispiel 1.10. Die Werte der Verteilungsfunktion können für jedes beliebige x
ausgerechnet werden, z.B. F (0.75) = 1
16 |{0.14,0.27,0.43,0.68}| = 4
16
= 0.25. Am besten
rechnet man es aber für jeden Stichprobenwert x i aus und zeichnet zwischen
den Punkten Plateaus ein. Das Ergebnis sieht man in Abbildung 4.
Bei diskreten Merkmalen (x i ∈ N) ist es wahrscheinlich, dass gleiche Werte
mehrmals auftreten. In diesem Fall ist es geschickter, die Werte in Form einer
Häufigkeitstabelle anzugeben.
Definition 1.11. Eine Häufigkeitstabelle gibt eine diskrete Stichprobe als Liste
von Paaren (x i , H i ) an. Das bedeutet, dass der Wert x i mit der Anzahl H i auftritt.
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