Skriptum

Für unendliche Wahrscheinlichkeitsräume muss das Laplace-Modell anders
formuliert werden, da die Elementarereignisse notgedrungen Wahrscheinlichkeit
0 hätten.
Definition 3.12. Im Laplace-Modell für unendliche Wahrscheinlichkeitsräume
soll gelten
P(e) = |e|
|Ω| ,
wobei |e| ein Volumsmaß ist. Das erfüllt die Axiome des Wahrscheinlichkeitsraums,
weil jedes Maß die Axiome 1 und 3 erfüllt und Axiom 2 wegen P(Ω) =
= 1 erfüllt ist.
|Ω|
|Ω|
Wie gewünscht haben dann zwei gleich große Ereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Beispiel 3.13. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Regentropfen, der auf ein
A4-Blatt fällt, in einen darauf gezeichneten Kreis mit Durchmesser 4 cm fällt, ist
4 Kombinatorik
P(„in Kreis“) = (2cm)2 π
2 −4 m 2 ≈ 2%.
Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in endlichen Wahrscheinlichkeiten
sind folgende kombinatorische Formeln essentiell. Als Modell zur Veranschaulichung
dient das Urnenmodell, bei dem n nummerierte (also unterscheidbare)
Kugeln in einer Urne liegen und auf verschiedene Art daraus gezogen werden.
Bei den Variationen ist die Reihenfolge wichtig, mit der die Kugeln gezogen werden;
bei den Kombinationen zählt nur, welche Kugeln gezogen werden, nicht ihre
Reihenfolge. Weiters gibt es die Möglichkeit, jede Kugel, nachdem sie gezogen
wurde, wieder in die Urne zurück zu legen, so dass sich die Kugeln in der Ziehung
wiederholen können. Über die Anzahl der Möglichkeiten, so eine Ziehung durchzuführen,
kann man die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Ziehung ausrechnen.
Definition 4.1. Als Permutation bezeichnet man die Menge der verschiedenen
Anordnungen von n Elementen.
{(a 1 , a 2 ,..., a n ) | a i ∈ {b 1 ,b 2 ,...,b n } ∧ ∀i ≠ j : a i ≠ a j }
Das entspricht der Ziehung aller n Kugeln aus einer Urne, wobei es auf die
Reihenfolge ankommt, mit der die Kugeln gezogen werden.
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