Statistische Analysen der Einflussfaktoren auf die ...

Material und MethodenBeziehung wird dabei noch von zufälligen Einflüssen überlagert. Das einfache lineareRegressionsmodell beschreibt diese Abhängigkeit wie folgt (Dufner et al. 2004, S. 323):wobeiYi= + β1x iβ0+ εfür i=1,2,…,n.Yieine Zufallsvariable ist,iβ 0, β 1unbekannte Regressionsparameter sind,x1, x2,...,unabhängige (und feste) Variablen sind,ε nx nε1, ε2,...Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert 0 sind.In einem zweidimensionalen Koordinatensystem stellen sich die oben beschriebenenFunktionen als eine Gerade mit dem Achsenabschnitt β0und der Steigung β1dar.Im Falle einer multiplen linearen Regression wird das obige Modell wie folgt erweitert(DUFNER et al. 2004, S. 340):wobeiY = β0+ β1x+ β2x + ... + β x + εfür i=1,2,…,n, n>mii1i2Yidie abhängige Variable ist,β0, β1,β2,..., unbekannte Regressionsparameter,β mmimixi1 , xi2,..., ximdie Beobachtungen der unabhängigen Variablen xj(j=1,2,…,m),ε1, ε2,... Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert 0 sind.ε nSchätzung der ModellparameterFür die Beobachtungen ( x , ),i = 1,2, …,n, n ≥ 2iy i, der unabhängigen bzw. abhängigenVariablen einer zweidimensionalen Stichprobe werden nun die beiden Parameter β0undβ1geschätzt. Dies geschieht nach der Methode der kleinsten Quadrate. Forderung dieserMethode ist, dass die Summe der Quadrate der Abstände aller Beobachtungen von dergesuchten Geraden minimal wird (Abb. 3.9). Die Forderung lässt sich wie folgt darstellen:wobei∑2( ˆ − y ) = minii!y für i=1,2,…,n48