a la physique de l'information - Lisa - Université d'Angers

Les N bruits ηi apportent des fluctuations qui peuvent être quantifiés au moyen de la variance
instationnaire var[Y ] = E[Y 2 ] − E[Y ] 2 , avec E[Y 2 ] = E[y2 i ]/N + E[Y ]2 (N − 1)/N et
E[y 2 +∞
i ] =
−∞
g 2 (s + u)fη(u)du . (3.6)
Pour les grandes valeurs N, var[Y ] tend vers zéro. Dans ces conditions asymptotiques où N tend
vers l’infini, le processus constitué par le composant g(·), les N bruits ηi et le moyennage de
l’ Éq. (3.3), devient un composant déterministe équivalent de caractéristique entrée–sortie donnée
par l’ Éq. (3.2). Pour les valeurs finies de N, la présence des N bruits ηi jouera un rôle constructif
si l’amélioration apportée sur la transmission ou le traitement de s par la modification de la
caractéristique du composant est plus grande que la nuisance due aux fluctuations résiduelles
en sortie y.
Ainsi, le processus de l’ Éq. (3.3) délimite un problème général : étant donné un composant de
caractéristique g(·) et un nombre N d’échantillons pour le moyennage, comment peut-on choisir
la fonction densité de probabilité des bruits ηi pour obtenir une réponse souhaitée. Ce problème
inverse est, en général, difficile à résoudre. Un problème plus simple consiste à fixer une fonction
densité de probabilité des bruits et agir uniquement sur l’amplitude efficace ση de ces bruits
identiques. C’est exactement ce que l’on fait lors des études sur la résonance stochastique.
Ainsi les études sur la résonance stochastique dans les non-linéarités statiques et bruit additif
constituent une solution heuristique pragmatique au “problème de capteur” posé en début de
cette section.
Comme illustration, donnons quelques exemples d’applications de ce processus de façonnage de
l’ Éq. (3.3). On considère un composant de caractéristique entrée–sortie g(u) avec un régime
linéaire délimité par un seuil et une saturation
⎧
⎨ 0 pour u ≤ 0
g(u) = u pour 0 < u < 1
(3.7)
⎩
1 pour u ≥ 1 .
La possibilité de façonner la réponse de tels composants par le bruit via l’ Éq. (3.3) est montrée
sur la Fig. 3.3. En l’absence de bruit, la caractéristique g(u) présente des non-linéarités dures.
Les bruits ηi injectés dans l’ Éq. (3.3), arbitrairement choisis gaussien ici, tendent à adoucir ces
non-linéarités pour étendre la gamme sur laquelle la caractéristique entrée–sortie effective geff(·)
de l’ Éq. (3.2) est linéaire. La Fig. 3.4 représente la similarité entre les signaux d’entrée s(t) et
de sortie au moyen y(t) l’intercovariance normalisée
Csy =
〈s(t) E[y(t)]〉 − 〈s(t)〉〈E[y(t)]〉
〈s(t) 2 〉 − 〈s(t)〉 2 〈E[y2 , (3.8)
(t)]〉 − 〈E[y(t)]〉 2
en fonction de l’amplitude efficace ση des bruits ηi(t) ajoutés sur les capteurs, pour la transmission
par le réseau de capteurs à saturation de l’ Éq. (3.7) de signaux d’entrée apériodiques
particuliers de grandes amplitudes. Pour chaque taille N du réseau présentée sur la Fig. 3.4,
nous constatons que la transmission de signaux de grandes amplitudes qui font saturer les capteurs
peut être améliorée par addition des bruits ηi(t) sur les capteurs. Le façonnage de la
caractéristique entrée–sortie effective geff(·) se traduit par une augmentation de Csy qui culmine
pour un niveau optimal non nul des bruits ajoutés sur les capteurs ηi(t). L’action du bruit permet
une meilleure fidélité de transduction pour des signaux s(t) de grandes amplitudes faisant
saturer les capteurs. La dynamique du réseau de capteurs en présence des bruits ηi(t) est donc
plus étendue que celle d’un seul capteur sans bruit ajouté.
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