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Figure 4.7 : Histogramme tri-dimensionel couleur dans le cube colorimétrique RGB [0, 255] 3 pour l’image Flowers de la Fig. 4.6 présenté sous deux angles de vue différents. Figure 4.8 : Analyse en échelle de l’organisation de l’histograme couleur de l’image “Flowers” de la Fig. 4.7. De gauche à droite: mesures N(a), M(a), C(a). Le nombre est la pente de la droite (en pointillés) ajustée manuellement pour coller aux mesures (en trait plein) sur la gamme d’échelle a la plus grande. turelles. Dans une autre direction, l’organisation fractale des couleurs dans les scènes naturelles pourrait être reliée aux propriétés de codage de notre système visuel. Étant donné les propriétés statistiques spectrales de la lumière naturelle, le système visuel pourrait avoir évolué dans ses capacités de codage afin de permettre une représentation multiéchelle du spectre visible. Aux grandes échelles colorimétriques, on trouve des domaines très éloignés dans le spectre visible. Aux petites échelles, on a des couleurs qui sont proches comme dans le cas d’ombres portées qui créent autour d’une couleur donnée de subtils dégradés. Il y a aussi des échelles intermédiaires comme par exemple toutes les différences de verts et de marrons qui peuvent exister dans une forêt ou dans un paysage en extérieur ; et encore d’autres échelles. Pour permettre une discrimination efficace de ces multiples échelles, le système visuel pourrait avoir distribué ses capacités de codage sur toute les gammes d’échelle de couleurs contenant de l’information dans la nature. La structure fractale montrée dans [43, 44, 28] pourrait ainsi être une manifestation d’une telle stratégie de codage par le système visuel. Afin d’interroger les possibles origines d’une organisation fractale des couleurs, un moyen serait de considérer des images de synthèse produites par des techniques de rendu de sophistication croissante : une voie que nous explorons à l’occasion de la dernière année de thèse de Julien CHAUVEAU. 49/197
4.2.3 Analyse multifractale en imagerie couleur Nous proposons de compléter notre point de vue sur l’organisation des histogrammes tridimensionnels à travers les échelles au moyen d’une analyse multifractale [56, 139, 149, 138] qui procède comme suit. Le cube colorimétrique [0, Q − 1] 3 est recouvert par des boîtes cubiques jointives de côté a. Chacune de ces boîtes, d’indice i, reçoit une mesure Pi ∈ [0, 1] égale au nombre de pixels de l’histogramme contenus dans la boîte divisé par Npix. Avec un paramètre q ∈ IR, on définit une fonction de partition Z(q, a) = i P q i , (4.6) la somme sur i s’étendant à l’ensemble des boîtes de côté a (non vides) nécessaires pour recouvrir l’histogramme tridimensionnel. Pour une valeur fixée de l’exposant q, on répète l’évaluation de Z(q, a) en variant le côté a des boîtes. L’exposant q joue un rôle de zoom sur la mesure Pi à l’échelle a, en distribuant différemment l’influence sur Z(q, a) des diverses valeurs de la mesure. Ainsi, les q > 1 renforcent, en relatif, l’influence dans Z(q, a) des fortes valeurs de Pi, alors que les q < 1 renforcent les faibles Pi. Tant que q > 0, la relation d’ordre des Pi est préservée ; les Pi forts contribuent davantage à Z(q, a) que les Pi faibles, avec toutefois une pondération relative selon la valeur de q > 0. Si l’on passe aux q < 0, la relation d’ordre des Pi est renversée ; les Pi faibles contribuent davantage à Z(q, a) que les Pi forts, avec une pondération relative selon la valeur de q < 0. Ainsi, selon l’exposant q, la fonction de partition Z(q, a) est différemment influencée par la mesure Pi, offrant un point de vue multiple sur cette mesure. Des propriétés remarquables à travers les échelles sont alors identifiées lorsque la fonction de partition Z(q, a) présente une évolution en loi de puissance [139, 149] de la forme Z(q, a) ∼ a τ(q) , (4.7) avec l’exposant τ(q), appelé exposant de masse, une fonction du paramètre q qui offre une caractérisation condensée des propriétés multiéchelles de la structure analysée. Un comportement de référence (trivial) est la situation où les pixels de l’histogramme tridimensionnel se répartissent de façon uniforme dans le cube colorimétrique [0, Q − 1] 3 . Dans ce cas, la mesure de chaque boîte cubique est proportionnelle à son volume, c’est-à-dire Pi ∼ a3 , et le nombre N(a) de boîtes de côté a nécessaires pour recouvrir l’histogramme donne N(a) ∼ a−3 . La fonction de partition de l’ Éq. (4.6) donne alors Z(q, a) ∼ a3q−3 , conduisant dans l’ Éq. (4.7) à τ(q) = 3(q − 1) . (4.8) Un τ(q) linéaire à l’instar de l’ Éq. (4.7) est un comportement monofractal. L’existence de la loi de puissance de l’ Éq. (4.7) associée à un exposant τ(q) s’écartant d’une loi linéaire comme l’ Éq. (4.8) caractérise des organisations multiéchelles élaborées présentant un caractère multifractal. Notons que, comme conséquence de la normalisation à 1 de la mesure Pi, on a dans l’ Éq. (4.6) l’identité Z(q = 1, a) = 1 pour tout a ; la fonction τ(q) de l’Éq. (4.7) vérifie donc toujours τ(1) = 0. On définit une dimension fractale généralisée par [71] D(q) = τ(q) , (4.9) q − 1 qui se réduit donc à la constante D = 3 dans le cas de l’histogramme tridimensionnel uniforme. La dimension généralisée D(q) offre une autre caractérisation condensée des propriétés multiéchelles de la structure analysée. Un cas particulier intéressant survient pour q = 0, quand 50/197
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