a la physique de l'information - Lisa - Université d'Angers

complexité colorimétrique des images naturelles au vu de l’analyse multifractale. De plus, on
observe sur la Fig. 4.14 en q = 0 une dimension D(q = 0) = 3 à la fois pour l’image uniforme
et pour l’image de la cascade multiplicative. Ceci exprime que la dimension du support de
l’histogramme couleur de ces deux types d’images est 3, ce qui est attendu de par leur constitution
homogène sur l’ensemble du cube colorimétrique, même pour l’image multifractale. Par
contre, l’image naturelle “Flowers” sur la Fig. 4.14 possède D(q = 0) = 2.7 ; et pour l’image
“Lena” de la Fig. 4.6 on trouve D(q = 0) = 2.4. Ceci exprime que la dimension du support
de l’histogramme des images naturelles est non entière, inférieure à 3. Il s’agit d’une dimension
fractale traduisant le caractère lacunaire du support de l’histogramme tridimensionnel, avec
des vides de toute une gamme de tailles ou d’échelles ne contenant aucune couleur employée
dans l’image, comme illustré sur la Fig. 4.7. Le support de l’histogramme constitue la palette
des couleurs employées dans l’image, indépendamment des populations de pixels occupant ces
couleurs. Ce support présente un caractère fractal pour les images naturelles, au vu de la dimension
généralisée D(q = 0) qui est non entière. Les autres caractéristiques, à q = 0, elles,
sont sensibles à l’influence des populations de pixels dans l’histogramme.
• Petites et grandes échelles Nous complétons sur les Figs. 4.15–4.16 avec les exposants de
masse τ(q) et les dimensions fractales généralisées D(q) évalués également aux petites échelles
à partir des graphes de Z(q, a) de la Fig. 4.11. Pour les exposants q ≥ 0, les valeurs de τ(q)
et D(q) ne diffèrent pas significativement lorsqu’évaluées aux petites ou aux grandes échelles.
On a un comportement homogène à travers les échelles, avec une loi de puissance régulière
pour Z(q, a) sans crossover. Par contre, pour les exposants q < 0, on voit sur les Figs. 4.15–
4.16 les valeurs de τ(q) et D(q) s’écarter et devenir distinctes lorsqu’évaluées aux petites ou
aux grandes échelles. Il est encore difficile d’obtenir une interprétation complète assurée sur
l’origine de ce comportement aux q < 0 donnant naissance au crossover. Une raison en est
qu’aux q < 0 ce sont les plus petites valeurs de la mesure à travers l’histogramme qui tendent
à dominer la fonction de partition Z(q, a) de l’ Éq. (4.6), et que donc l’influence d’un bruit de
mesure peut ici devenir significative. Toutefois, les valeurs les plus communément interprétables
des paramètres multifractals comme la dimension généralisée D(q) sont habituellement associées
aux q ≥ 0. On a ainsi D(0) qui donne la dimension fractale du support de l’histogramme, D(1)
qui constitue sa dimension d’information, et D(2) est liée à sa dimension de corrélation. Les
paramètres τ(q) et D(q) issus de l’analyse multifractale contiennent donc des caractérisations
riches de l’histogramme tridimensionnel et donc de l’organisation colorimétrique des images à
travers les échelles.
Notons que les observations rapportées ici au sujet des images de la Fig. 4.6 sont typiques des
résultats observés lors de l’analyse multifractale que nous avons réalisée sur de nombreuses images
couleur naturelles. En particulier, l’allure des graphes de Z(q, a) comme sur les Figs. 4.11–
4.12, avec un crossover apparaissant pour les q < 0 uniquement, est retrouvée de façon quasi
systématique sur les nombreuses images couleur naturelles que nous avons testées. Les graphes
de Z(q, a) des Figs. 4.11–4.12 sont en cela typiques, ainsi que les formes d’évolutions de τ(q) et
D(q) des Figs. 4.15–4.16. Au delà des formes similaires, ce sont les valeurs numériques précises
de τ(q) et D(q) qui vont différer d’une image à l’autre et être spécifiques. Ainsi par exemple
pour l’image “Flowers” de la Fig. 4.6 on a la dimension fractale du support D(q = 0) = 2.7, la
dimension d’information D(q = 1) = 2.1, et reliée à la dimension de corrélation D(q = 2) = 1.6 ;
alors que pour l’image “Lena” il vient ici D(q = 0) = 2.4, D(q = 1) = 1.8 et D(q = 2) = 1.5 .
• Discussion
Les approches multiéchelles offrent des moyens pouvant contribuer à la caractérisation de struc-
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