a la physique de l'information - Lisa - Université d'Angers

4.2.3 Analyse multifractale en imagerie couleur
Nous proposons de compléter notre point de vue sur l’organisation des histogrammes tridimensionnels
à travers les échelles au moyen d’une analyse multifractale [56, 139, 149, 138] qui procède
comme suit. Le cube colorimétrique [0, Q − 1] 3 est recouvert par des boîtes cubiques jointives
de côté a. Chacune de ces boîtes, d’indice i, reçoit une mesure Pi ∈ [0, 1] égale au nombre de
pixels de l’histogramme contenus dans la boîte divisé par Npix. Avec un paramètre q ∈ IR, on
définit une fonction de partition
Z(q, a) =
i
P q
i , (4.6)
la somme sur i s’étendant à l’ensemble des boîtes de côté a (non vides) nécessaires pour recouvrir
l’histogramme tridimensionnel. Pour une valeur fixée de l’exposant q, on répète l’évaluation de
Z(q, a) en variant le côté a des boîtes. L’exposant q joue un rôle de zoom sur la mesure Pi à
l’échelle a, en distribuant différemment l’influence sur Z(q, a) des diverses valeurs de la mesure.
Ainsi, les q > 1 renforcent, en relatif, l’influence dans Z(q, a) des fortes valeurs de Pi, alors que
les q < 1 renforcent les faibles Pi. Tant que q > 0, la relation d’ordre des Pi est préservée ; les Pi
forts contribuent davantage à Z(q, a) que les Pi faibles, avec toutefois une pondération relative
selon la valeur de q > 0. Si l’on passe aux q < 0, la relation d’ordre des Pi est renversée ; les
Pi faibles contribuent davantage à Z(q, a) que les Pi forts, avec une pondération relative selon
la valeur de q < 0. Ainsi, selon l’exposant q, la fonction de partition Z(q, a) est différemment
influencée par la mesure Pi, offrant un point de vue multiple sur cette mesure.
Des propriétés remarquables à travers les échelles sont alors identifiées lorsque la fonction de
partition Z(q, a) présente une évolution en loi de puissance [139, 149] de la forme
Z(q, a) ∼ a τ(q) , (4.7)
avec l’exposant τ(q), appelé exposant de masse, une fonction du paramètre q qui offre une
caractérisation condensée des propriétés multiéchelles de la structure analysée. Un comportement
de référence (trivial) est la situation où les pixels de l’histogramme tridimensionnel se
répartissent de façon uniforme dans le cube colorimétrique [0, Q − 1] 3 . Dans ce cas, la mesure de
chaque boîte cubique est proportionnelle à son volume, c’est-à-dire Pi ∼ a3 , et le nombre N(a)
de boîtes de côté a nécessaires pour recouvrir l’histogramme donne N(a) ∼ a−3 . La fonction de
partition de l’ Éq. (4.6) donne alors Z(q, a) ∼ a3q−3 , conduisant dans l’ Éq. (4.7) à
τ(q) = 3(q − 1) . (4.8)
Un τ(q) linéaire à l’instar de l’ Éq. (4.7) est un comportement monofractal. L’existence de la
loi de puissance de l’ Éq. (4.7) associée à un exposant τ(q) s’écartant d’une loi linéaire comme
l’ Éq. (4.8) caractérise des organisations multiéchelles élaborées présentant un caractère multifractal.
Notons que, comme conséquence de la normalisation à 1 de la mesure Pi, on a dans
l’ Éq. (4.6) l’identité Z(q = 1, a) = 1 pour tout a ; la fonction τ(q) de l’Éq. (4.7) vérifie donc
toujours τ(1) = 0.
On définit une dimension fractale généralisée par [71]
D(q) = τ(q)
, (4.9)
q − 1
qui se réduit donc à la constante D = 3 dans le cas de l’histogramme tridimensionnel uniforme.
La dimension généralisée D(q) offre une autre caractérisation condensée des propriétés
multiéchelles de la structure analysée. Un cas particulier intéressant survient pour q = 0, quand
50/197