a la physique de l'information - Lisa - Université d'Angers

linéaire, même dynamique, quelle que soit sa complexité et son ordre, laisse le rapport signal
sur bruit inchangé [49]. En revanche, rien n’est connu a priori sur la transformation du rapport
signal sur bruit si on considère la classe des filtres non linéaires.
Afin de restreindre le champ d’investigation (par définition infini avec les non–propriétés comme
le non linéaire) j’ai choisi d’étudier des filtres non linéaires à base de simples composants non
linéaires et facilement implantable en électronique. Un deuxième choix méthodologique a été
de choisir la classe des composants sans mémoire à caractéristique entrée–sortie statique comme
celle que j’avais étudié pour les effets de bruits. Ces composants sont particulièrement adaptés
dans ce contexte puisque leur comportement est indépendant de la fréquence du signal d’entrée.
Ainsi, si une transformation utile du rapport signal sur bruit est obtenue par un composant à
caractéristique statique le bénéfice de cette transformation est garanti indépendemment de la
fréquence νs du signal harmonique d’entrée 2 . Le calcul du rapport signal sur bruit de l’ensemble
des non-linéarités statiques peut être mené de façon unifié [29] dans le cadre théorique suivant.
On considère un mélange signal–bruit additif x(t) = s(t)+ξ(t), où le signal utile s(t) est constitué
d’une seule composante harmonique s(t) = A cos(2πνst + ϕ),et ξ(t) un bruit blanc stationnaire
de fonction de répartition Fξ(u) et de densité de probabilité fξ(u) = dFξ(u)/du. Le bruit ξ(t)
est un bruit subit sur lequel nous ne souhaitons pas influer volontairement. Ce mélange x(t) est
appliqué en entrée d’un système non linéaire sans mémoire [9] de caractéristique entrée–sortie
g(·) produisant la sortie
y(t) = g[s(t) + ξ(t)] . (3.9)
Dans cette situation, x(t) et y(t) sont des signaux aléatoires cyclostationnaires [108] de période
Ts = 1/νs, dont les spectres de puissance sont une raie spectrale νs émergeant d’un fond de bruit
large bande. Le rapport signal sur bruit peut alors s’exprimer comme
〈E[y(t)] exp(−ı2πt/Ts)〉
Rout =
2 . (3.10)
〈var[y(t)]〉∆t∆B
avec l’espérance de sortie E[y(t)]
où la moyenne temporelle s’écrit
Y 1 =
E[y(t)] exp − ı 2π
t
Ts
〈...〉 = 1
Ts
Ts
0
, (3.11)
... dt . (3.12)
et la variance instationnaire à l’instant t var[y(t)] = E[y 2 (t)] − E[y(t)] 2 qui fait intervenir
et
E[y(t)] =
E[y 2 (t)] =
+∞
−∞
+∞
−∞
g(u)fξ[u − s(t)]du , (3.13)
g 2 (u)fξ[u − s(t)]du . (3.14)
2 Cette indépendance vis à vis de la fréquence avec des composants statiques est vrai tant que l’hypothèse
d’un bruit physique modélisable par un modèle de type bruit blanc est valide, c’est à dire tant que la durée
de correlation du bruit physique est petite devant la période Ts = 1/νs et tout autre temps caractéristique du
processus. Si l’hypothèse de bruit blanc n’est plus valide, l’amplification du gain en rapport signal sur bruit peut
encore se produire mais la description théorique d’un tel gain sort du cadre de validité de l’ Éq. (3.16) et est a
priori plus compliqué à mener. D’autres limitations naturelles en fréquence peuvent se produire en pratique avec
les limitations physiques des composants qui présentent tous une fréquence de coupure.
27/197