TEORIA DE CONJUNTOS I - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

400 23 400 = 23 -14
- (14) 18
1.5 Aplicaciones del Binomio de
Newton
Sean A y n números no divisibles.
A = º
n + r
A = º
n + r´
r + r´= n
r : Residuo por defecto de A:n
r´: Residuo por exceso de A:n
Se demuestra que:
( º
n + r) m = º
n +r m
, m Z +
( º
n - r´) m = º
n +(r´) m , m = # par
( º
n - r´) m = º
n -(r´) m , m = # impar
1.6 Restos Potenciales
Se llaman restos potenciales de un número
“a” respecto a un módulo “m”, a los
restos que se obtienen dividiendo la
serie natural de las potencias de “a”
entre “m”. Estos es:
módulo = m
potencias = a 0 ; a 1 ; a 2 ;.....
restos = r 0 ; r 1 ; r 2 ;.......
Luego: a 0 =
a 1 =
a 2 =
m + r0
m + r1
m + r2
.
.
.
.
LEY DE FORMACION DE LOS RESTOS
POTENCIALES
(1) “Cuando m y a contienen los
mismos factores primos”
Ejemplo:
m = 54 = 2.3 3
a = 12 = 2 2 Módulo = 54
.3
Potencias=12 0 , 12 1 , 12 2 , 12 3 , 12 4 , 12 5 ,....
Restos = 1; 12; 36; 0; 0; 0;......
Nótese que: ¡Hay un instante en
que los restos se vuelven nulos!
(2) “Cuando todos los factores primos m
son diferentes a los factores primos de
a”
Ejemplo:
m = 28 = 2 2 .7 a = 15 = 3.5
módulo = 28
potencia = 15 0 ;15 1 ;15 2 ;15 3 ;15 4 ;......
restos = 1. 15 , 1, 15, 1;......
Grupo Periódico: a su cantidad de
elementos se llama GAUSSIANO
Para este ejemplo: GAUSSIANO = 2
Nótese que:¡Siempre habrá un
grupo de restos que se repetirán
periódicamente!
(3) “Cuando m y a contienen
algunos factores primos iguales
y otros diferentes”
Ejemplo:
m = 40 = 2 3 .5 a = 12 = 2 2 .3
módulo = 40
potencia=12 0 ;12 1 ;12 2 ;12 3 ;12 4 ;12 5 ;12 6 ;12 7 ...
resto= 1, 12, 24; 8; 16; 32; 24; 8;
Grupo no periódico Grupo periódico
GAUSSIANO = 4
Nótese que: ¡Siempre habrá un grupo no
periódico y otro grupo periódico!