TEORIA DE CONJUNTOS I - MATEMATICAS EJERCICIOS ...

Otro método (Método combinatorio)
100 = 2 2 x 5 2
2 0 5 0
2 1 5 1
2 2 5 2
7 x 31 = 217
3. Suma de Inversas de los
Divisores SIDN
SIDN = SDN
N
SID100 = SID100 = 217 = 2,17
100 100
4. Producto de los Divisores de
un número N PDN
PDN =
PD100 =100 9/2
CDN
N = N
CDN /2
5. Indicador de Euler o Función
de Euler
(N)
N = a .b . c ...
(N) = N 1 -1 1 -1 1- 1 ...
a b c
Ejemplo: Determinar cuantos números
menores que 10 son primos con el
Números menores que 10
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
X X X X
Son primos con 10 1, 3, 7, 9
10 = 2 . 5
4#
(10) = (10) 1 - 1 1 – 1 = 4
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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si N = 15 . 30 n
divisores. Hallar “n”.
tiene 294
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
Resolución:
Haciendo la descomposición canónica
de 15.30 n se tiene:
15.30 n = 3.5 (2.3.5) n = 3.5.2 n .3 n .5 n
= 2 n . 3 n+1 . 5 n+1
CD(N) = (n + 1) (n + 2)²
Por dato del problema se tiene que:
(n + 1) (n + 2)² = 294 = 6 . 7²
Igualando factores se puede observar
que “n” tomará el valor de 5.
2. Si:4 k+2 – 4 k tiene 92 divisores, se
puede calcular el valor de “k-1”.
a) 3 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
Resolución:
Descomponemos canónicamente al
número
4 k+2 – 4 k , para ello factorizamos 4 k :
4 k+2 - 4 k = 4 k (4² - 1) = 4 k . 15 = 4 k .5.3
= (2²) k . 3 . 5 = 2 2k . 3.5
Con lo cual se obtiene que:
4 k+2 – 4 k = 2 2k . 3 . 5
CD(4 k+2 – 4 k ) = (2k+1)(2)(2) = 4(2k + 1)
Por dato del problema se tiene: