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donde ds/dt es la rapidez del objeto en el tiempo t
De la ecuación anterior podemos despejar dt:
El tiempo total que toma a la partícula viajar de y = 0 a y = y 0 es:
Pero (ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2, de donde:
luego
mgy
podemos ahora integrar por partes:
0
t
= mgy
t
v
= t y
=
0 y 0 2gy(
x
0
∫ dt = ∫ =
ds =
=
1
2g
dv =
⎛ dy(
x)
⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ dx ⎠
y0
∫ y=
0
donde L es la longitud de la trayectoria (no confundir v con la rapidez)
du
y0
∫ y=
0
u
0
=
1 ⎛ ds ⎞
− mgy(
x)
+ m⎜
⎟
2 ⎝ dt ⎠
ds
=
dt
dt =
=
2
22
ds
2
dx
1+
( y ( x))
'
1+ ( y ( x))
'
2gy( x)
1
ds
2gy( x)
y(
x)
y ( x)
'
y(
x)
3
'
y(
x)
dx
2
dx
)
2
dx
1+
( y ( x))
dx = L
2
2