Desarrollo

Resolviendo las integrales se obtiene:
BLOQUE 3
�
2 2
sen x cos
x dx
1
4
1
1dx
�
8
1
1dx
�
32
1 1 1
� x � x � sen
4 8 32
� � � �
cos
�4x� � cte.
Por último, simplificando términos semejantes se obtiene el resultado final.
�
2
2
sen x cos
2do. Caso. Si alguna de las potencias es impar.
Si m ó n es impar, se utiliza la identidad.
Ejemplo.
2 3
Calcular sen x cos x dx
�
x dx
2
1 1
� x � sen
8 32
2
sen x � cos x � 1
�4x� �4x� � cte.
Se expresa la función coseno elevada al cubo como producto de potencias, como se muestra a continuación.
2 3
� sen x cos x dx �
�
2
2
sen x cos
Se sustituye la identidad correspondiente y se realizan las operaciones.
�
2
3
sen x cos
Ahora se realiza un cambio de variable, donde:
u � sen x
du �
cos x dx
Resolviendo las integrales se obtiene:
�
2 3
sen x cos
�
2
x dx
x dx
�
�
�
�
�
�
3
sen x cos
2 2
� sen x cos
2 2
� sen x �1 � sen x�
2 4
� �sen x � sen x�
2
� sen x cos x dx � �
x cos x dx
2
� sen x cos x dx � �
2 4
� u du � � u du
x dx
2
� � u du � � u
3
x cos x dx
cos x dx
cos x dx
sen
u u
� � � cte.
3 5
3
5
4
4dx
x cos x dx
4
sen x cos x dx
du
sen x sen x
� � � cte.
3 5
4
5
107