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Utilizando el teorema de integración directa correspondiente a la función exponencial, queda: 1 �2x 1 w 1 w � � e dx� e dw e cte. 2 4 � � � 4 1 �2x � e � cte. ( B) 4 Se sustituye el resultado (B) en (A), se resuelve la integral solicitada. �2x xe dx � uv � vdu � 1 �2x � 1 �2x � �x�� e � � e dx 2 � � � � 2 1 �2x 1 �2x � � xe � e � cte. 2 4 Es recomendable simplificar el resultado, para ello, se requiere factorización por factor común y operaciones algebraicas, como sigue: �2x 1 �2x 1 �2x � xe dx� � xe � e � cte. 2 4 � 1 1� �2x � �� x � e cte. 2 4 � � � � �� 2x � 1� �2x � � e � cte. 4 � � � �2x �2x � 1� e � � � cte. 4 Ejemplo 2. Calcular � t Ln( t) dt El integrando está compuesto por la multiplicación de las funciones: t y Ln(t). 90 � � Tomando en cuenta las recomendaciones se toma a: u � Ln�t� dv � tdt Una vez seleccionados “u” y “dv”, se obtienen lo siguiente: u � Ln du � dt t �t� v � �dv � � tdt 2 t v � 2 dv � tdt EMPLEA LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Al sustituir los resultados anteriores en la fórmula de integración por partes, se obtiene: Ejemplo 3. Calcular � x senxdx 3 u � x du � 3 3x 2 BLOQUE 3 dx dv � senx dx v � �dv � � senx dx v � �cos x � � t Ln( t) dt 3 x senxdx � uv � 3 � x � uv � � � Ln � Ln � Ln 2 �t� �t� �t� t � Ln 2 2 � t � Ln 2 vdu vdu � 2 t � � � � � 2 � � � � 2 t � � � � � 2 � � � � 2 t � � � 1 � � 2 � � � 2 �t� 1 � 2 t � � � � � cte. 2 � 2 � � � t 2 �t� � � cte. 4 � � 2 t � dt � � � 2 � t � t dt 2 � tdt 2 �� cos x� � � cos x�3x dx� 3 � �x cos x � � �3 2 x cos xdx Si se observa en el resultado (A), la integral no se obtiene de forma directa, por lo que se tendrá que volver a utilizar el método de integración por partes. Nota que la integral original tenía la función algebraica era de tercer grado, ahora disminuyó un grado, eso significa que después que se integre por segunda vez, se tendrá repetirá el procedimiento una vez más, hasta que quede una función algebraica de primer grado. u � du � 3x 2 6xdx dv � cos xdx v � �dv � � cos xdx v � senx � 2 3x cos x dx � uv � � � 3x 3x � 2 2 3x cosx dx 2 � vdu �sen x� � �sen x�6xdx � senx � �6x senx dx ( A) ( B) 91
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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO D
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La diferencial de una función. En
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