Desarrollo

Productos de potencias de tangentes y secantes.
Para resolver este tipo de integrales, se requiere distinguir entre la naturaleza de las potencias.
108
�
tan
m
x sec
n
x dx
1er. Caso. Si n es par.
Este caso depende de la potencia de la secante y para ello se utiliza:
Ejemplo.
6 8
Calcular sec x tan x dx
�
sec
2
x � 1�
tan
Se expresa la función secante elevada a la sexta como producto de potencias, como se muestra a continuación.
6 8
2
� sec x tan x dx � � sec x
Se sustituye la identidad correspondiente y se realizan las operaciones.
�
sec
6
x tan
8
x dx
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
sec
sec
sec
sec
tan
Ahora se realiza un cambio de variable, donde:
u � tan x
du � sec
2
x dx
6 8
sec x tan
x dx
Resolviendo las integrales se obtiene:
�
�
sec
�
�
6
�
�
2
2
2
2
8
8
tan
x
x
x
x
2
x
2 2 8
�sec x�
tan x dx
2 2 8
�sec x�
tan x dx
2 2 8
�1 � tan x�
tan xdx
2 4 8
�1 � 2 tan x � tan x�tan
8 10 12
�tan x � 2 tan x � tan x�
x sec
x sec
�
2
2
x dx
x dx
� 2
�
�
�
tan
10
8 10 12
u du � 2 u du � u du
x tan
8
x dx
x sec
2
10 2
� 2 tan x sec
8 10
� � u du � 2�
u du � � u
9
xdx
dx
x dx
x dx
u u u
� � 2 � � cte.
9 11 13
9
11
13
11
12
du
13
�
�
�
�
tan
12
12
tan
tan x tan x tan x
� � 2 � � cte.
9 11 13
x sec
x sec
2
2
x dx
x dx
EMPLEA LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN