Desarrollo

Integración de funciones racionales propias.
Las funciones racionales propias, son aquellas cuyo numerador es un polinomio de grado menor que el polinomio del
denominador, para resolver este tipo de integrales, se tienen que separar en varios casos.
1er. Caso. Q(x) tiene factores lineales distintos.
Esto es, al factorizarse Q(x), éste se descompone en factores de la forma ax+b, como se muestra a continuación con
el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.
x � 5 2 1
Comprobar que � dx � � dx �
� � dx .
2
x � x � 2 x 1 x � 2
Si esto es cierto, la integral se puede resolver fácilmente con un pequeño cambio de variable. Nótese que las
fracciones en las cuales se descompuso la función racional original son funciones racionales impropias con
denominadores diferentes.
Ahora, para comprobar que es válida la proposición anterior, se desarrollará el lado derecho de la ecuación.
BLOQUE 3
�
x � 5
dx �
2
x � x � 2
�
�
�
�
�
�
�
�
�x � 2�
� 1�x
� 1�
�x � 1��x
� 2�
� �x � 1��x
� 2�
� �x � 1��x
� 2�
�
2
dx �
x � 1
� 2 1 �
� � �dx
� x � 1 x � 2 �
2
dx
2x
x � 5
�
� 4 � x � 1
dx
x � 5
dx
2
x � x � 2
1
dx
x � 2
En Matemáticas 1, dentro del tema “fracciones algebraicas” conociste este procedimiento que consiste en sumar o
restar fracciones. Ahora lo que se debe hacer es el proceso contrario: dada una función racional, obtener su
descomposición en fracciones; para hacerlo también se recurrirá a la solución de sistemas de ecuaciones y por ello
es de suma importancia el reforzamiento de estos temas.
A continuación se ejemplificará la forma de obtener la descomposición en fracciones, para ello se iniciará con la
integral del ejemplo 1.
Ejemplo 2.
x � 5
Calcular � dx .
2
x � x � 2
Primero se factoriza el denominador.
x � 5
x � 5
� dx �
2
x � x � 2
�
dx
� �x � 2��x
1�
Al factorizarse el denominador se puede obtener su descomposición en fracciones. Dejando a un lado las integrales
para centrarse en la descomposición, se considera lo siguiente:
x �
5 A B
� �
2
x � x � 2 x � 2 x � 1
dx
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