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Por lo tanto se puede decir que 5x( 2x � 1) dx � �2x � 1� � cte. 80 � 2 3 Pero esto fue sencillo porque ya se conocía el resultado y sólo se comprobó utilizando derivación. 5 16 2 Ahora bien, se puede utilizar de forma análoga el cambio de variable, para utilizar los teoremas básicos de la integración. A continuación se mostrará cómo se realiza el cambio de variable para integrar la función anterior. 2 Si u � 2x �1, entonces queda: � 5x( 2x 4 2 3 � 5x( 2x �1) dx El propósito es tener la integral solamente en términos de “u”. Para ello se calcula el diferencial de “u”. 2 u � 2x �1 du � 4xdx Si se acomoda la integral de la siguiente forma: � 2 5x( 2x Se nota que “du” no corresponde, debido a que debe ser 4xdx. 2 3 � �1) dx � 5x( u) dx 3 � 3 3 �1) dx � ( u) 5xdx Para resolver este problema, se despeja “dx” del diferencial “du”, como se muestra: du � 4xdx du � dx 4x Ahora se sustituye “dx” en la integral y se simplifican términos. � 5x( 2x 2 3 � � � � 1) dx � ( u) 5xdx � � 5 � 4 ( u) ( u) � 3 3 3 ( u) du 5x 4x 5 du 4 Como se ve en el resultado anterior, la integral se resuelve con el segundo teorema básico de integración, y queda de la siguiente forma: � 5x( 2x 2 3 du 3 5 3 5 u � 1) dx � ( u) du cte. 4 � � � 4 4 5 4 � u � cte. 16 4 EMPLEA LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Sustituyendo el valor de “u”, se obtiene: BLOQUE 3 � 5x( 2x 2 3 5 � 1) dx � 16 2 4 �2x � 1� � cte. Formalizando el método de cambio de variable para integrar una función, se tiene: � f g�( x) dx , si se toma a: Sea �g( x) � u � g( x) entonces du � g�( x) dx Sustituyendo este cambio de variable en la integral original se obtiene: � f( u) du, donde u � g( x) y du � g�( x) Como puedes observar, la integral original era la de una función composición, es decir, la de una función “f” que dependía de otra función “g”, al hacer el cambio de variable, la integral se transforma en otra función que depende ahora de una sola variable y no de una función, lo que permitirá (de ser posible) calcular la integral más fácilmente. El método de cambio de variable o sustitución, no indica qué parte de la función a integrar se debe cambiar por “u”, se requiere de habilidad para seleccionar dicho cambio, la cual adquirirás a medida de que practiques este método. A continuación se presentan algunos ejemplos de integración utilizando el método de cambio de variable. Ejemplo 1. Calcular � � dx ) 2 ( ) x 2 1 ( 4 Al observar la función que se desea integrar, nota que hay una función elevada a una potencia, la cual se conoce como una función compuesta, es por ello que se elige como “u” la función que está siendo elevada, como se muestra: u � 1� 2x También se ocupa obtener la diferencial de “u”, de la siguiente forma. du � 2dx De tal manera que al observar la función se tiene que se encuentra el diferencial completo, quedando la sustitución de la siguiente forma: � 4 ( 1� 2x) ( 2) dx � u du Ahora que se simplificó la integral, se puede resolver de forma directa, utilizando los teoremas enunciados en el bloque 1. 5 4 4 u �( 1� 2x) ( 2) dx � �u du � � cte. 5 Una vez resuelta la integral, se vuelve a sustituir el valor de “u”, para obtener el resultado en términos de “x”. � ( 1� 2x) 4 ( 2) dx � � 4 �1� 2x� 5 5 � cte. 81
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COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO D
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